Dos pontos a seguir, qual deles é externo à circunferência de equação (x + 1)2 + (y – 1)2 = 5?

Quanto à circunferência, sabe-se que todos os pontos dela distam igualmente do centro, essa distância igual é denominada de raio. Em comparação com esse raio, ou seja, com os elementos que pertencem à circunferência, podemos ter 3 posições a serem estudadas entre um ponto e uma circunferência.

Para estudar essas posições relativas determinemos uma circunferência λ de centro C(Xc, Yc) e raio r. Analisaremos a posição relativa de um ponto P qualquer em relação a essa circunferência λ.

• Ponto P interno à circunferência: isso implica que a distância do ponto P até o centro é menor do que o raio da circunferência. 

• Ponto P externo à circunferência: neste caso teremos que a distância do ponto P até o centro é maior do que o raio

• Ponto P pertence à circunferência: por fim, temos o caso no qual a distância do ponto P ao centro é igual ao raio.

Portanto, quando se conhece o raio da circunferência e deseja-se analisar a posição relativa de um ponto a uma determinada circunferência, basta comparar a distância do Ponto ao centro da circunferência com o valor do raio, feito isso você será capaz de determinar as posições relativas. Com isso é necessário saber como se calcula a distância entre dois pontos, esse estudo você pode acompanhar no artigo Distância entre dois Pontos.

Vejamos algumas situações para realizar esse tipo de análise quanto às posições relativas entre um ponto e uma circunferência.

“Analise as posições relativas entre os pontos dados e a circunferência λ: (x+1)2 + (y+1)2=9 , cujos pontos são: A(-2,2). B (-4,1), D(1,1), E(-4,-1)”

Devemos obter duas informações necessárias para realizar os cálculos, que são as coordenadas do Centro da circunferência e o raio, da equação reduzida podemos obter facilmente essas duas informações: C (-1, -1) e raio 3.

Basta calcular as distâncias dos pontos até o centro e comparar com o raio.

Vejamos a representação gráfica das posições relativas desses pontos em relação à circunferência.

Veja que apenas com o conceito de distância entre pontos foi possível abordar vários temas da geometria analítica. A distância entre pontos está presente em praticamente toda a geometria analítica, se não, em toda ela.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Sabemos que os pontos de uma circunferência estão a uma mesma distância do centro O(x0, y0) e que a essa distância damos o nome de raio. Se um ponto P(xP ,yP) do plano não pertence à circunferência, a distância do centro até ele é maior ou menor que o raio. Se a distância entre O e P for maior que o raio, podemos afirmar que P é exterior à circunferência. Se a distância entre O e P for menor que o raio, então P é interior à circunferência. Vamos analisar cada situação.

1º caso: P(xP, yP) é um ponto da circunferência.

Se P é um ponto da circunferência, então dP,O = r

 2º caso: P(xP, yP) é um ponto exterior à circunferência.

Se P é um ponto exterior à circunferência, então dP,O > r

3º caso: P(xP, yP) é um ponto interior à circunferência.

Se P é um ponto interior à circunferência, então dP,O < r

Exemplo 1. Dada uma circunferência de equação (x – 5)2 + (y – 4)2 = 25, verifique a posição relativa do ponto P(9, 7) em relação à circunferência dada.

x0 = 5 e y0 = 4 → O(5, 4)

Como a distância entre o centro O da circunferência e o ponto P é igual à medida do raio, podemos afirmar que P(9, 7) pertence à circunferência.

Exemplo 2. Verifique a posição relativa entre o ponto P(2, – 5) e a circunferência de equação (x – 2)2 + (y – 3)2 = 49.

x0 = 2 e y0 = 3 → O(2, 3)

Como a distância entre P e O é maior que a medida do raio, podemos afirmar que o ponto P(2,– 5) é exterior à circunferência.

Exemplo 3. Dada uma circunferência de equação x2 + y2 = 144 e um ponto P(0, – 7). Podemos afirmar que P é um ponto da circunferência?

x0 = 0 e y0 = 0 → O(0, 0)

Vamos obter a distância entre P e O, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Como a distância entre P e O é menor que a medida do raio, P(0, – 7) é interior à circunferência e não um ponto da circunferência.

Videoaula relacionada:

O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo A(4; –7) e      B(–8; –3). Se o raio dessa circunferência é 3, determine sua equação.

(PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b.

(FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).

(ITA-SP) Qual a distância entre os pontos de intersecção da reta 

Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum.

Temos que duas circunferências de equações λ1: x² + y² = 16 e λ2: x² + y² + 4y = 0 são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum. Determine a coordenada desse ponto.

Calculando o centro C através da equação do ponto médio de um segmento:

Coordenadas A(4; –7) e   B(–8; –3).

De acordo com a lei de formação da equação de uma circunferência (x – a)² + (y – b)² = r², temos que de acordo com o ponto médio o centro da circunferência é (–2; –5), isto é,

a = –2 e b = –5. Então:

(x + 2)² + (y + 5)² = 3²

(x + 2)² + (y + 5)² = 9

A equação da circunferência é dada por (x + 2)² + (y + 5)² = 9.

A equação da circunferência que possui centro C(0, 3) e raio r = 5 é dada por:

(x – 0)² + (y – 3)² = 5² → x² + (y – 3)² = 25.

Sabendo que o ponto (3, b) pertence à circunferência, temos que:

3² + (b – 3)² = 25 → 9 + (b – 3)² = 25 → (b – 3)² = 25 – 9 → (b – 3)² = 16

b – 3 = 4 → b = 4 + 3 → b = 7

b – 3 = – 4 → b = – 4 + 3 → b = – 1

O valor da coordenada b pode ser –1 ou 7.

Sabendo que o ponto A(1 ,1) pertence à circunferência e que o centro possui coordenadas C(2, 1), temos que a distância entre A e C é o raio da circunferência. Dessa forma temos que d(A, C) = r.

Se o raio da circunferência é igual a 1 e o centro é dado por (2, 1), temos que a equação da circunferência é dada por: (x – 2)² + (y – 1)² = 1.

Vamos obter os pontos de intersecção da reta e da circunferência através da resolução do seguinte sistema de equações:

Resolvendo o sistema por substituição:

2x + y = 20

y = 20 – 2x

Substituindo y na 2ª equação:

x² + y² = 400

x² + (20 – 2x)² = 400

x² + 400 – 80x + 4x² = 400

5x² – 80x + 400 – 400 = 0

5x² – 80x = 0

5x * (x – 16) = 0

5x = 0

x’ = 0

x – 16 = 0

x’’ = 16

Substituindo x = 0 e x = 16, na equação y = 20 – 2x:

x = 0

y = 20 – 2 * 0

y = 20 

S = {0, 20}

x = 16

y = 20 – 2 * 16

y = 20 – 32

y = – 12

S = {16, –12}

Os pontos de intersecção são: {0, 20} e {16, –12}. Vamos agora estabelecer a distância entre eles:

A distância entre os pontos de intersecção da reta e da circunferência é igual a 16√5.

Resolvendo o sistema

Resolvendo o sistema por Adição:

– 2x – 2y – 6 = 0  → – x – y – 3 = 0 → –y = x + 3 → y = – 3 – x

Substituindo y em qualquer das equações:

x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0

x² + (–3–x)² – 4x – 8y – 5 = 0

x² + x² + 6x + 9 – 4x + 8x + 24 – 5 = 0

2x² + 10x + 28 = 0

Resolvendo a equação por Bháskara:

∆ = b² – 4ac

∆ = 10² – 4 * 2 * 28

∆ = 100 – 224

∆ = – 124

Em razão de ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. Logo, as circunferências não possuem pontos em comum.

Resolver o sistema de equações: 

Temos pela 1ª equação que x² + y² = 16, então:

x² + y² + 4y = 0 → 16 + 4y = 0 → 4y = – 16 → y = –16/4 → y = –4

x² + y² = 16 → x² + (–4)² = 16 → x² + 16 = 16 → x² = 16 – 16 → x² = 0 → x = 0

O ponto de intersecção das circunferências é {0, – 4}.