Como calcular a altura de um paralelepípedo

O paralelepípedo é um sólido geométrico com faces paralelas. O paralelepípedo é uma figura tridimensional e é uma das figuras geométricas estudas pela geometria espacial.

Definição

Podemos definir o paralelepípedo como uma figura tridimensional em que suas faces são paralelogramos. Dessa forma, existem três maneiras de defini-lo:

• É um prisma em que sua base é um paralelogramo;
• É um hexaedro em que cada face seja um paralelogramo;
• É um hexaedro com três pares de faces paralelas.

Elementos

Um paralelepípedo é formado pelos seguintes elementos:

• Faces: Possui 6 faces. As faces são os lados formados pela união das arestas.
• Vértices: Possui 8 vértices. Os vértices são pontos onde as arestas se encontram;
• Arestas: Possui 12 arestas. As arestas são segmentos de retas ligadas nos vértices que formam as faces.

Tipos de Paralelepípedo

Podemos classificar os paralelepípedos conforme sua disposição no espaço:

Retos: é quando as faces laterais são perpendiculares, ou seja, as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases. Dessa forma, é chamado também de paralelepípedo retângulo.

Oblíquos: é oblíquo quando não são retos, ou seja, quando as faces laterais não formam ângulos retos e assim elas não são perpendiculares.

Isósceles: é quando todas as faces são quadradas, quando isso acontece chamamos o paralelepípedo de cubo.

Planificação

Se “abrirmos” o paralelepípedo veremos que suas faces são formadas por outas figuras geométricas. Isso é o que se chama de planificação. É importante para entendermos como calcular a área desse hexaedro.

Pela figura percebemos que as bases e as faces são formadas por retângulos, mas dependendo do tipo podem ser formadas por quadrados também.

Como Calcular a Área?

Para calcular a área do paralelepípedo devemos entender que ele é uma figura geométrica espacial. Assim, a área será de uma figura tridimensional.

Área da Base

A base é formada por uma figura geométrica plana. Então, para calcular devemos multiplicar a base pela altura dessa figura. Temos a seguinte fórmula:

Ab = b . h

Onde:

• Ab: é a área;
• b: é a medida da base;
• h: é a medida da altura.

Área Lateral

Para calcular a área lateral, temos que entender que o sólido possui quatro faces laterais formando pares. Então, para calcular a área lateral, usamos a seguinte fórmula:

• Al = ac + bc + ac + bc ⇒
• Al = 2ac + 2bc ⇒
• Al = 2(ac + bc)

Onde:

• Al: é a área;
• a, b e c: são as medidas das arestas.

Área Total

Para calcular a área total, temos que olhar para a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Temos a seguinte fórmula:

At = 2(ab + ac + bc)

Onde:

• At: é a área;
• a, b e c: são as medidas das arestas.

Volume do Paralelepípedo

Para calcular o volume devemos proceder da mesma forma que calculamos o volume do cubo. O volume do cubo é o produto do comprimento, da largura e altura. Então, temos a seguinte fórmula para o volume do paralelepípedo:

V = a . b . c

Onde:

• V: é o volume;
• a, b e c: são as medidas das arestas.

Que é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura.

Exercícios

Acesse os exercícios no link a seguir:

• Exercícios sobre o paralelepípedo

Sendo o volume do paralelepípedo é calculado por:

V = |(u, v, w)| = |v ×w|h, então,

h = |(u, v, w)| |v × w|

lembrando que a base do paralelepípedo (e também do tetraedro) é formada pelos vetores v e w.

Rosimar Gouveia

Professora de Matemática e Física

O Paralelepípedo é uma figura geométrica espacial que faz parte dos sólidos geométricos.

Trata-se de um prisma que possui base e faces em formato de paralelogramos (polígono de quatro lados).

Em outras palavras, o paralelepípedo é um prisma quadrangular com base de paralelogramos.

Faces, Vértices e Arestas do paralelepípedo

O paralelepípedo possui:

• 6 faces (paralelogramos)
• 8 vértices
• 12 arestas

Classificação do paralelepípedo

De acordo com a perpendicularidade de suas arestas em relação a base, os paralelepípedos são classificados em:

Paralelepípedos Oblíquos: possuem arestas laterais oblíquas à base.

Paralelepípedos Reto: possuem arestas laterais perpendiculares à base, ou seja, apresentam ângulos retos (90º) entre cada uma das faces.

Lembre-se que o paralelepípedo é um sólido geométrico, ou seja, uma figura com três dimensões (altura, largura e comprimento).

Todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas. Para exemplificar melhor, confira abaixo a planificação do paralelepípedo reto:

Fórmulas do paralelepípedo

Segue abaixo as principais fórmulas do paralelepípedo, onde a, b e c são as arestas do paralelogramo:

• Área da Base: Ab = a.b
• Área Total: At = 2ab+2bc+2ac
• Volume: V = a.b.c
• Diagonais: D = √a2 + b2 + c2

Fique Atento!

Os paralelepípedos retângulos são prismas retos que apresentam base e face retangulares.

Um caso especial de paralelepípedo retângulo é o cubo, figura geométrica com seis faces quadrangulares. Para calcular a área lateral de um paralelepípedo retângulo utiliza-se a fórmula:

Al = 2(ac+bc)

Donde, a, b e c são arestas da figura.

Para complementar sua pesquisa sobre o tema, veja também:

• Prisma
• Polígonos
• Paralelogramo
• Relação de Euler: vértices, faces e arestas

Exercícios Resolvidos

Segue abaixo dois exercícios de paralelepípedo que caíram no Enem:

1) (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza:

a) massa b) volume c) superfície d) capacidade

e) comprimento

2) (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:

a) 5 cm b) 6 cm c) 12 cm d) 24 cm

e) 25 cm