Com base no gráfico e considerando que em cada intervalo

1)

Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, IBGE, o segmento populacional que mais tem aumento no Brasil é o de idosos – pessoas com 60 anos ou mais. Em 2000, 14,2 milhões de brasileiros tinham 60 anos ou mais. Em 2010, eram 19,6 milhões e estima-se para 2030, 41,5 milhões. O gráfico foi esboçado, considerando-se uma aproximação do número de idosos P, em milhões, como função de t, em que t = 0, ..., 30 corresponde a 2000, ..., 2030, respectivamente. Com base no gráfico e considerando que em cada intervalo de tempo destacando na figura a razão de aumento dessa população é constante, pode-se afirmar que de 2000 a 2020 houve um aumento aproximado do número de idosos, em milhões de:

a)    24,5

b)   22,8

c)    20,4

d)   18,6

e)    16,5

Vejamos :

 Observando o gráfico notamos que, entre 2000 e 2010, houve um aumento 6 milhões de idosos.

 De 2010 a 2030, o aumento estimado evolui segundo uma função do primeiro grau, p(t) = at + b.

 Como (10, 20) e (30, 41) pertencem a p(t), podemos escrever : 20 = 10a + b e

 41 = 30a + b → 20 – 10a = 41 – 30a → 30a – 10a = 41 – 20 →  20a = 21 →

 a = 21/20 → a = 1,05 → 20 = 10.1,05 + b → 20 – 10,5 = b → b = 9,5.

 Portanto p(t) = 1,05t + 9,5 e p(20) = 1,05.20 + 9,5 → p(20) = 30,5.

 Finalmente de 2000 a 2020 houve um aumento de 30,5 – 14 = 16,5

                                                    Questões 2 e 3

2).O gráfico mostra as escolhas de um grupo de idosos matriculados no primeiro semestre de um curso de idiomas. Sabendo-se que:

Ø  Dos homens, nenhum dos que escolheram inglês ou francês, escolheu espanhol;

Ø  Das mulheres, nenhuma das que escolheram espanhol ou francês escolheu inglês;

Ø  6 homens e 6 mulheres escolheram idiomas diferentes dos apresentados no gráfico;

Pode-se afirmar que o número de idosos matriculados foi, no mínimo, de:

a)    72

b)   59

c)    47

d)   31

e)    29

Vejamos :

Através do gráfico podemos observar a preferencia entre homens e mulheres.

Homens → Espanhol = 8, Francês = 8, Inglês = 15 e Outro idioma = 6

Mulheres → Espanhol = 5, Francês = 12, Inglês = 12 e Outro idioma = 6

Dos homens, nenhum dos que escolheram inglês(I) ou francês(F), escolheu espanhol(E), portanto n(I U F) = 15 e n(E) = 8

Das Mulheres, nenhuma dos que escolheram espanhol(E) ou francês(F), escolheu inglês (I), portanto n(E U F) = 12 e n(I) = 12

Como o número de idosos matriculados pedido foi MÍNIMO, então todos os homens    que escolheram Francês escolheram também inglês, assim como entre as mulheres, todas que escolheram Espanhol também escolher                                                                                                                                                                 

Finalmente, (8 + 6 + 8 + 7) + (12 + 6 + 5 + 7) = 29 + 30 = 59

3)  Um grupo de idosos formado por 3 homens e X mulheres, alunos de curso de teatro, reuniu-se em uma sala para leitura conjunta de texto a ser encenado. Sabe-se que, antes do início da leitura, as mulheres cumprimentaram os homens e se cumprimentaram entre si, mas os homens cumprimentaram, apenas, as mulheres, esse comportamento resultou em um total de cumprimentos de número par e que não excedeu a 42. Com base nessa informação, pode-se afirmar que a quantidade de possíveis valores distintos para X é:

a)    6

b)   5

c)    4

d)   3

e)    2

Vejamos :

Como não importa a ordem, cada cumprimento é uma combinação de (x + 3) pessoas tomadas 2 a 2. Porém, já que os homens só cumprimentam as mulheres, devemos diminuir as combinações entre eles, ou seja de 3, 2 a 2. Portanto, a  diferença C(x+3),2 – C3,2 , fornece o número de cumprimentos efetivamente dados.

 Como o comportamento resultou em um total de cumprimentos de número par e que não excedeu a 42, entao C(X+3),2 – C3,2  ≤  42 → (x+3)!/(x+1)!2! – 3!/2!1! ≤ 42 →

(x+3)(x+2)/2 – 3 ≤ 42 → (x2 + 5x + 6)/2 – 3 ≤ 42 → x2 + 5x + 6 – 6 ≤ 84 → x2 + 5x – 84 ≤ 0

           ∆ = 52 – 4.1.(- 84) = 361 → x = (-5 ± 19)/2 → x' = 7 ou x'' = - 12          

- 12 ≤ x ≤ 7 → como x deve ser positivo e par, então x ε {2, 4, 6} → 3 possíveis valores.

                                              Questões 4 e 5

4)  O PIB é a soma de todos os bens e serviços produzidos em determinado país e é uma ferramenta fundamental para avaliação do seu crescimento econômico. A “renda per capita” é outro importante indicador da economia de uma país e é determinado pela razão PIB/População economicamente ativa. Considerando que, em um período, a renda per capita de um país diminuiu 18%, enquanto a população economicamente ativa diminuiu 10%, é correto afirmar que, nesse mesmo período, o PIB desse país diminuiu:

a)    30,0%

b)   29,1%

c)    28,4%

d)   27,0%

e)    26,2%

Vejamos :

Como a “renda per capita” é a razão PIB/População economicamente ativa e

considerando que a renda per capita de um país diminuiu 18%, enquanto a população economicamente ativa diminuiu 10%, então quanto o PIB diminuiu ?

 Renda → 100% - 18% = 82%

 População economicamente ativa → 100% - 10% = 90%

 Se a “renda per capita” = PIB/População economicamente ativa, então

 PIB = (renda per capita) . (População economicamente ativa) = 82%.90% = 73,80%.

Finalmente o PIB diminuiu de 100% - 73,8% = 26,2%

5)  Considere-se que nas regiões X e Y, em determinado ano, ocorreu um desperdício médio de alimentos, por pessoa, respectivamente, igual a 75kg e 48kg. A partir de então, verificou-se um decréscimo anual desse desperdício, segundo progressões geométricas de razão 0,8q e q respectivamente. Com base nessa informação e comparando-se o desperdício médio anual de alimentos, por pessoa, nas duas regiões, pode-se afirmar que:

a)    Foi maior em X até o terceiro ano.

b)   Foi o mesmo, no segundo ano.

c)    Foi menor em Y até o quarto ano.

d)   Foi maior em Y a partir do quarto ano.

e)    Em X sempre foi maior que em Y.

Vejamos :

 Região X → PG, a1 = 75 e razão 0,8q → Xn = 75.(0,8q)n - 1

 Região Y → PG, a1 = 48 e razão q → Yn = 48.qn - 1

 Fazendo  Xn = Yn , 75.(0,8q)n – 1 = 48.qn – 1 → 75.0,8n – 1. qn – 1 = 48.qn – 1 →

 75.0,8n – 1 = 48 → 0,8n – 1 = 48/75 → 0,8n – 1 = 0,64 → 0,8n – 1 = 0,82 → n – 1 = 2 →

 n = 3, portanto foi o mesmo no segundo ano. 

6) Pesquisadores do MIT construíram um protótipo de micro robô que realiza procedimentos simples no estômago sem incisões ou tubos externos. O micro robô é ingerível, encerrado em uma cápsula, e controlado remotamente pode levar e aplicar medicação em uma lesão interna ou tampá-la ao se assentar sobre o ferimento como band-aid – o paciente apenas o engole. A cápsula se dissolve no estômago, e o robô se desdobra como uma peça de origami, sendo conduzida pelo cirurgião até a posição desejada.

            Considere-se que a cápsula tenha a forma de um cilindro circular reto equilátero, e o robô, inserido nela, tenha a forma de um paralelepípedo reto de base quadrada, inscrito no cilindro. Sabendo-se que a figura representa uma seção transversal da cápsula cuja capacidade é de 0,001 π u. v., e que o volume do robô é igual a K √3 u. v., pode-se afirmar que o valor de k é:

a)    10-3

b)   2 . 10-3                         QUESTAO INCORRETA

c)    10-2

d)   4 . 10-2

e)    10-1

Vejamos : Admitindo que a base seja um quadrado, o ângulo correto deveria ser 450 

e não 300   

● ângulo de 450  → x2 + x2 = (2R)2 → 2x2 = 4R2 → x2 = 2R2 →

    x = √2R2 → x = R√2.

● Como o cilindro é equilátero, então h = 2R.

● Volume do cilindro = 0,0001u.v. → V = π.R2.h = π.R2.2R = 2π.R3 = 0,001π

    R3 = 0,001/2 → R3 = 0,0005 .

● Volume do robô : Vrobo = Abase. h → Vrobo = x2 . h → Vrobo = (R√2)2 . 2R

   Vrobo = 2R2 . 2R → Vrobo = 4R3 → Vrobo  = 4 . 0,0005 → Vrobo = 0,002 u.v.

● Como Vrobo  = k.√3 = 0,002 → k = 0,002/√3 → K = 2.10-3/√3 → K = 2√3/3.10-3

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