Utilizamos o arranjo simples quando queremos saber quantos agrupamentos ordenados diferentes podemos formar com p dos n elementos dados, sendo sempre p ≤ n. Ou seja, nesse caso, a ordem em que os elementos se encontram no agrupamento é importante.
Um dos métodos mais antigos de criptografia, utilizado desde a antiguidade, é alterar a posição dos elementos, tornando a mensagem ilegível. Atualmente, com a tecnologia da análise combinatória, o uso da criptografia ficou mais sofisticado. Hoje, informações codificadas expandiram-se: estão presentes em cartões de crédito, na internet e até mesmo em ligações telefônicas.
O que é um arranjo simples?
Por exemplo: usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar? Para isso, podemos utilizar o seguinte raciocínio:
Como não podemos repetir, há 5 possibilidades para o 1º algarismo, 4 para o 2º e 3 para o 1º. No total, podemos formar 5 . 4 . 3 = 60 números.
Podemos também obter esse mesmo resultado utilizando a fórmula do arranjo:
- n = número total de elementos;
- p = números de elementos que queremos que estejam no agrupamento ordenado.
Resolvendo o exemplo acima, utilizando a fórmula, teremos n = 5 e p = 3:
Diferença entre arranjo e combinação
Quando realizamos a combinação de n elementos em grupos de p elementos, sem se importar com a ordem dos elementos nesse grupo, estamos fazendo a combinação desses elementos. Porém, quando a ordem é importante, precisamos utilizar o arranjo.
Podemos visualizar isso melhor imaginando a seguinte situação:
(1) Anna, Elisa, Rosana, Diego, Fabrício e João estão disputando uma corrida. Quais são as possibilidades de formação do pódio de primeiro, segundo e terceiro lugar?
Nesse caso, a posição em que cada pessoa fica faz diferença: se eles ficam em primeiro, segundo ou terceiro é diferente.
Porém, se essas mesmas pessoas estiverem se organizando em duplas para treinar para esse campeonato, tanto faz se a dupla for (Anna, Elisa) ou (Elisa, Anna). Portanto, a ordem não importa. Nesse caso, usaremos, então, a combinação.
Como resolver exercícios de arranjo?
Todos os exercícios que envolvem arranjo simples podem ser resolvidos de duas formas: utilizando a fórmula e usando um raciocínio de multiplicar os números usados em cada posição. Essas duas maneiras foram empregadas na resolução do primeiro exemplo. Veja outros exemplos, a seguir, nos exercícios resolvidos.
Exercícios resolvidos
1) Quantos números de dois algarismos diferentes podemos escrever com algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
RESPOSTA:
1ª maneira: utilizando a fórmula.
Procuramos agrupamentos de 2 elementos em que a ordem é importante, pois, por exemplo, 12 ≠ 21. Temos 9 elementos para serem arranjados 2 a 2. Assim, temos que calcular:
2ª maneira: sem usar a fórmula.
Para o algarismo das dezenas, temos 9 opções e, para algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos.
Assim, temos 9 . 8 = 72 possibilidades.
Portanto, são 72 números.
2) Quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3 e 4?
RESPOSTA:
1ª maneira: sem usar a fórmula.
Para o algarismo das dezenas, temos 4 opções e, para o algarismo das unidades, apenas 3, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 4 . 3 = 12 possibilidades, portanto, 12 números.
2ª maneira: utilizando a fórmula.
Nesse caso, temos quatro dígitos, 1, 2, 3 e 4, e queremos saber quantos números de 2 algarismos diferentes podemos escrever com eles. Precisamos calcular A4,2.
3) Um estudante tem 5 lápis de cores diferentes. Quantas maneiras diferentes ele poderá pintar os estados da região Sul do Brasil, cada um de uma cor?
RESPOSTA:
1ª maneira: sem usar a fórmula.
São 3 estados: Rio Grande do Sul, Paraná e Santa Catarina. Para pintar o Rio Grande do Sul, há 5 possibilidades, para o Paraná, 4 possibilidades, e, para Santa Catarina, 3 possibilidades.
Logo, 5 . 4 . 3 = 60 possibilidades.
2ª maneira: usando a fórmula.
Os estados do sul do Brasil são 3: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. Logo, devemos calcular A5,3.
Assim, +10 é o menor número inteiro de dois algarismos.
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As pessoas também perguntam quantos números ímpares podemos formar usando uma única vez cada um dos algarismos 3 4 7 8 e 9?
Resposta: 72 números. Explicação passo-a-passo: Para ser ímpar basta terminar em um número ímpar. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com 0 1 2 3 4 e 5? Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números de 3 algarismos podemos formar? 210 números.
As pessoas também perguntam quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0 1 2 3 4 5?
De quantas maneiras um número com 3 algarismos distintos pode ser formado utilizando 0, 1, 2, 3, 4 e 5? Alternativa correta: d) 100. O número formado deve conter 3 algarismos para preencher a posição de centena, dezena e unidade. Quantos números com dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1 2 3 4 5 6 7 e 8? 8 = 72 possibilidades. Portanto, são 72 números.
Qual e o múltiplo de 3?
M(3) = {3;6;9;12;15;18;21;24;27;30;...} Qual e o número menor número com 4 algarismos? Dadas as restrições, é fácil ver que o maior número de três algarismos é 987 e que o menor número de quatro algarismos é 1023.
Cada um dos elementos de um numeral é um algarismo ou dígito: Numeral com 3 dígitos: 426. Numeral com 10 algarismos: 1.234.567.890. Além disso, quantos algarismos são? Algarismo: São os símbolos numéricos utilizados para expressar qualquer número. O sistema de numeração decimal possui dez algarismos principais, que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os dígitos: 3, 5, 7 e 6? Então são 4 possibilidades para as dezenas, são quatro dígitos diferentes, e para as unidades serão 3, pois não queremos repetidos, portanto: 4 . 3 = 12 números de dois algarismos distintos.
Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3 e 4? Solução: P. = 4 = 4.3.2.1 P. = 24 Resposta: Podemos formar 24 números diferentes. Portanto, há 120 números que podemos formar com os algarismos 3,5,6,7 e 8. Portanto, existem 72 números de dois algarismos diferentes que podem ser escritos com os algarismos de 1 a 9. Para o algarismos das dezenas temos 9 opções e, para o algarismo das unidades, apenas 8 opções, pois não podemos repetir algarismos. Assim, temos 9 . 8 = 72 possibilidades. Explicação passo-a-passo: Ora basta fazer: 8*8*8*8 = 4096. Note que pra cada posição há 8 possibilidades. 2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? Logo, pelo princípio multiplicativo ou fundamental da contagem (PFC): há 6 x 5 x possibilidades. → Portanto, podemos formar 120 números de 3 algarismos distintos com os dígitos dados. assim, temos 72 números divisíveis por 5. Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os algarismos do sistema decimal *? Resposta: 81 números. Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os algarismos do sistema decimal *? Resposta: 81 números. Resposta : 120 números. Podemos formar 120 números. números. ESPERO TER AJUDADO! Logo, 120 números distintos podem ser formados. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? Logo, pelo princípio multiplicativo ou fundamental da contagem (PFC): há 6 x 5 x 4 = 120 possibilidades. assim, temos 72 números divisíveis por 5. 1 resposta(s) Então pelo princípio multiplicativo da contagem temos: 8×7×6× números ímpares. Obs: Como os números são distintos, não pode haver repetição, ou seja, se escolho 3 para o último algarismo, ele não poderá aparecer em qualque outra posição dos números ímpares que teminam com 3. com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7 e 8, é possível criar 336 distintos números de três algarismos. Espero ter ajudado, bons estudos. Resposta: 120 números de 3 algarismos distintos. Com os algarismos 1,2,3,4 e 5, quantos números de dois algarismos distintos podemos formar? (a)20. Podem ser formados 12 números de 2 algarismos distintos com os números 2, 4, 6 ou 8. São eles: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84 e 86.