WHAAAAAAAAAAAAT????
Respira fundo e fica calmo! Vou te explicar parte por parte!
Se, ao substituir a expressão num ponto qualquer , der zero e se a derivada parcial de em relação a nesse ponto for uma matriz inversível, isto é, tiver determinante diferente de zero, então, ali perto de , está definido implicitamente na equação (mesmo que a gente não saiba a expressão dessa função) e é uma função diferenciável. E mais, sua derivada é igual a menos o inverso da derivada de em relação a vezes a derivada de em relação a .
Ufa! Dá uma segunda liga nisso pra fixar melhor.
Agora deixa eu te mostrar direitinho o que é , e .
A primeiro coisa é lembrar que são as funções definidas implicitamete, e são as variáveis.
Agora, o que diabos é ? Ele vai ser essa matriz aqui:
Onde cada uma dessas , são as compoenentes da função e cada um desses são as coordenadas que queremos ver se é uma função.
No nosso exemplo, já vimos ali em cima que .
Além disso, nossa função só tem uma componente . Então, essa parada fica:
Sacou a ideia?
Isso vai ser o jacobiano de em relação as componentes do vetor , beleza?
Depois temos que ver se o determinante dessa matriz jacobiana é diferente de zero, para sabermos se ela é inversível.
Mas, pra isso, devemos olhar em um ponto específico, então vamos fazer a conta para o ponto
Tá, calculando nesse ponto então
Como esse determinante deu diferente de podemos dizer que, com aquela equação do exemplo podemos definir implicitamente em função de e perto, mas bem pertiiiinho mesmo do ponto .
Isso não quer dizer que conseguimos escrever em função de e , mas pelo menos agora a gente sabe que a função está ali, implícita, mas está, ou seja
O teorema permite também que a gente calcule , que nesse caso, são as derivadas de em função de e de .
Para isso temos que achar agora a matriz jacobiana , que vai ser
Onde cada uma dessas , são as compoenentes da função e cada um desses são as as variáveis da nossa função definida implicitamente.
Ainda no nosso exemplo, temos
Vamos trocar os valores de , e no ponto
Finalmente, a derivada da nossa função implícita vai ser representada por , e a fórmula que o teorema nos dá para calcular essa derivada é
Assim, no nosso exemplo, para o ponto , temos
Então, temos que
Vamos dar uma revisada no passo a passo para entender como fazer essa paradinha direito.
- Primeiro precisamos achar a nossa função
- Depois identificamos , que são as funções definidas implicitamete, e que são as variáveis.
- Fazemos a seguinte matriz
Com quantas componentes forem necessárias.
E fazemos, para essa matriz
No ponto , garantindo que as variáveis de podem ser definida implicitamente em função de , ali pertinho desse ponto.
OBS: uma boa dica é que o número de variáveis de é sempre igual ao número de funções componentes de , ou seja, o número de funções ddefinidas implicitamente deve ser igual ao número de equações dadas no problema.
- Fazemos a outra matriz
- Achamos as derivadas de em função de