Teorema da função implícita exercícios resolvidos

WHAAAAAAAAAAAAT????

Respira fundo e fica calmo! Vou te explicar parte por parte!

Se, ao substituir a expressão num ponto qualquer , der zero e se a derivada parcial de em relação a nesse ponto for uma matriz inversível, isto é, tiver determinante diferente de zero, então, ali perto de , está definido implicitamente na equação (mesmo que a gente não saiba a expressão dessa função) e é uma função diferenciável. E mais, sua derivada é igual a menos o inverso da derivada de em relação a vezes a derivada de em relação a .

Ufa! Dá uma segunda liga nisso pra fixar melhor.

Agora deixa eu te mostrar direitinho o que é , e .

A primeiro coisa é lembrar que são as funções definidas implicitamete, e são as variáveis.

Agora, o que diabos é ? Ele vai ser essa matriz aqui:

Onde cada uma dessas , são as compoenentes da função e cada um desses são as coordenadas que queremos ver se é uma função.

No nosso exemplo, já vimos ali em cima que .

Além disso, nossa função só tem uma componente . Então, essa parada fica:

Sacou a ideia?

Isso vai ser o jacobiano de em relação as componentes do vetor , beleza?

Depois temos que ver se o determinante dessa matriz jacobiana é diferente de zero, para sabermos se ela é inversível.

Mas, pra isso, devemos olhar em um ponto específico, então vamos fazer a conta para o ponto

Tá, calculando nesse ponto então

Como esse determinante deu diferente de podemos dizer que, com aquela equação do exemplo podemos definir implicitamente em função de e perto, mas bem pertiiiinho mesmo do ponto .

Isso não quer dizer que conseguimos escrever em função de e , mas pelo menos agora a gente sabe que a função está ali, implícita, mas está, ou seja

O teorema permite também que a gente calcule , que nesse caso, são as derivadas de em função de e de .

Para isso temos que achar agora a matriz jacobiana , que vai ser

Onde cada uma dessas , são as compoenentes da função e cada um desses são as as variáveis da nossa função definida implicitamente.

Ainda no nosso exemplo, temos

Vamos trocar os valores de , e no ponto

Finalmente, a derivada da nossa função implícita vai ser representada por , e a fórmula que o teorema nos dá para calcular essa derivada é

Assim, no nosso exemplo, para o ponto , temos

Então, temos que

Vamos dar uma revisada no passo a passo para entender como fazer essa paradinha direito.

• Primeiro precisamos achar a nossa função

Com quantas componentes forem necessárias.

• Depois identificamos , que são as funções definidas implicitamete, e que são as variáveis.
• Fazemos a seguinte matriz

E fazemos, para essa matriz

No ponto , garantindo que as variáveis de podem ser definida implicitamente em função de , ali pertinho desse ponto.

OBS: uma boa dica é que o número de variáveis de é sempre igual ao número de funções componentes de , ou seja, o número de funções ddefinidas implicitamente deve ser igual ao número de equações dadas no problema.

• Fazemos a outra matriz
• Achamos as derivadas de em função de