Quando lançamos uma moeda temos duas possibilidades: cara (K) ou coroa (C).
Se lançarmos duas moedas, poderemos ter as seguintes combinações:
Representando em um plano cartesiano, como produto de dois outros espaços amostrais (os espaços amostrais de cada moeda):
Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.
Experimento aleatório e ponto amostral
Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de ponto amostral. São exemplos de experimentos aleatórios:
a) Cara ou coroa
Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa.
b) Lançamento de um dado
Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele.
Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores.
c) Retirar uma carta aleatória de um baralho
Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório.
Espaço amostral
O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:
a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto.
b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais.
O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω).
Evento
Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão.
São exemplos de eventos:
a) Sair cara em um lançamento de uma moeda
O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos:
E = {cara}
O seu número de elementos é n(E) = 1.
b) Sair um número par no lançamento de um dado.
O evento é sair um número par:
E = {2, 4, 6}
O seu número de elementos é n(E) = 3.
Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência.
Cálculo da probabilidade
Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.
P(E) = n(E)
n(Ω)
Observações:
-
O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos do espaço amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no intervalo 0 ≤ P(A) ≤ 1;
-
Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou usar regra de três;
-
A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por:
P(A-1) = 1 – P(A)
Exemplos:
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?
Solução:
Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.
P(E) = n(E)
n(Ω)
P(E) = 1
2
P(E) = 0,5 = 50%
→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais?
Solução:
Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis:
(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)
O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis:
(C, C); (K, K)
Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo:
P(E) = n(E)
n(Ω)
P(E) = 2
4
P(E) = 0,5 = 50%
→ No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?
Solução:
Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
P(E) = n(E)
n(Ω)
P(E) = 2
6
P(E) = 0,33... = 33,3%
→ Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?
Solução:
Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.
A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer:
P(A-1) = 1 – P(E)
O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo:
P(A-1) = 1 – P(E)
P(A-1) = 1 – n(E)
n(Ω)
P(A-1) = 1 – 1
6
P(A-1) = 1 – 0,166..
P(A-1) = 0,8333… = 83,3%
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Professor Fernando Z. Respondeu há 5 anos
Olá Bruna.
Talvez seja tarde demais para a sua prova. Mas como foram dadas respostas distintas vamos analisar o problema.3 Moedas lançadas simultaneamenteQuaisquer 2 caras (C) eQualquer 1 coroa (K).Não é exigida nenhuma ordem de queda específica.Vamos seguir a linha do Prof. Bruno Holanda e escrever todos os resultados possíveisCCCCCK <- 2C 1KCKC <- 2C 1KCKKKCC <- 2C 1KKCKKKC
KKK
Há 3 combinações que atendem o solicitado entre as 8 totais.Portanto concordo com o Prof. Bruno Holanda com 3/8 = 37,5 %.==============Sobre o problema.Lembrem-se de que isso recai na análise binomial [1] e as combinações de n elementos em k posições Comb(n,k) são dadas pelo triângulo de Pascal [2]:Notem que temos n = 3 elementos então a linha do triângulo procura é: 1 3 3 1Se queremos 2C, então temos Comb(2,3) = 3.Se quiséssemos 1C, então teríamos Comb(1,3) = 3.A igualdade entre as duas possibilidades não é gratuita, repare que a pergunta é totalmente equivalente se fosse 1C e 2K. O resultado da probabilidade por outro lado não se altera por p = 1/2 e q = 1 - p = 1/2.Se quiséssemos 3C, então teríamos Comb(3,3) = 1. (O mais à direita).Se quiséssemos 0C, então teríamos Comb(0,3) = 1. (O mais à esquerda).
[1] //pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_binomial
[2] //pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo_de_Pascal