Se jogarmos duas moedas simultaneamente quantos elementos teremos no espaço amostral

Quando lançamos uma moeda temos duas possibilidades: cara (K) ou coroa (C).

Se lançarmos duas moedas, poderemos ter as seguintes combinações:

Representando em um plano cartesiano, como produto de dois outros espaços amostrais (os espaços amostrais de cada moeda):

Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual.

Experimento aleatório e ponto amostral

Um experimento aleatório pode ser repetido inúmeras vezes e nas mesmas condições e, mesmo assim, apresenta resultados diferentes. Cada um desses resultados possíveis é chamado de ponto amostral. São exemplos de experimentos aleatórios:

a) Cara ou coroa

Lançar uma moeda e observar se a face voltada para cima é cara ou coroa é um exemplo de experimento aleatório. Se a moeda não for viciada e for lançada sempre nas mesmas condições, poderemos ter como resultado tanto cara quanto coroa.

b) Lançamento de um dado

Lançar um dado e observar qual é o número da face superior também é um experimento aleatório. Esse número pode ser 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 e cada um desses resultados apresenta a mesma chance de ocorrer. Em cada lançamento, o resultado pode ser igual ao anterior ou diferente dele.

Observe que, no lançamento da moeda, as chances de repetir o resultado anterior são muito maiores.

c) Retirar uma carta aleatória de um baralho

Cada carta tem a mesma chance de ocorrência cada vez que o experimento é realizado, por isso, esse é também um experimento aleatório.

Espaço amostral

O espaço amostral (Ω) é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Em outras palavras, é o conjunto formado por todos os pontos amostrais de um experimento. Veja exemplos:

a) O espaço amostral do experimento “cara ou coroa” é o conjunto S = {Cara, Coroa}. Os pontos amostrais desse experimento são os mesmos elementos desse conjunto.

b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os pontos amostrais desse experimento são 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

O espaço amostral também é chamado de Universo e pode ser representado pelas outras notações usadas nos conjuntos. Além disso, todas as operações entre conjuntos valem também para espaços amostrais.

O número de elementos do espaço amostral, número de pontos amostrais do espaço amostral ou número de casos possíveis em um espaço amostral é representado da seguinte maneira: n(Ω).

Evento

Um evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Ele pode conter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. O número de elementos do evento é representado da seguinte maneira: n(E), sendo E o evento em questão.

São exemplos de eventos:

a) Sair cara em um lançamento de uma moeda

O evento é sair cara e possui um único elemento. A representação dos eventos também é feita com notações de conjuntos:

E = {cara}

O seu número de elementos é n(E) = 1.

b) Sair um número par no lançamento de um dado.

O evento é sair um número par:

E = {2, 4, 6}

O seu número de elementos é n(E) = 3.

Os eventos que possuem apenas um elemento (ponto amostral) são chamados de simples. Quando o evento é igual ao espaço amostral, ele é chamado de evento certo e sua probabilidade de ocorrência é de 100%. Quando um evento é igual ao conjunto vazio, ele é chamado de evento impossível e possui 0% de chances de ocorrência.

Cálculo da probabilidade

Seja E um evento qualquer no espaço amostral Ω. A probabilidade do evento A ocorrer é a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Em outras palavras, é o número de elementos do evento dividido pelo número de elementos do espaço amostral a que ele pertence.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

Observações:

• O número de elementos do evento sempre é menor ou igual ao número de elementos do espaço amostral e maior ou igual a zero. Por isso, o resultado dessa divisão sempre está no intervalo 0 ≤ P(A) ≤ 1;

• Quando é necessário usar porcentagem, devemos multiplicar o resultado dessa divisão por 100 ou usar regra de três;

• A probabilidade de um evento não acontecer é determinada por:

P(A-1) = 1 – P(A)

Exemplos:

→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de uma moeda, o resultado ser cara?

Solução:

Observe que o espaço amostral só possui dois elementos e que o evento é sair cara e, por isso, possui apenas um elemento.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 1
          2

P(E) = 0,5 = 50%

→ Qual é a probabilidade de, no lançamento de duas moedas, obtermos resultados iguais?

Solução:

Representando cara por C e coroa por K, teremos os seguintes resultados possíveis:

(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)

O evento obter resultados iguais possui os seguintes casos favoráveis:

(C, C); (K, K)

Há quatro casos possíveis (número de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (número de elementos do evento), logo:

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 2
          4

P(E) = 0,5 = 50%

→ No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um resultado menor que 3?

Solução:

Observe que os números do dado menores do que 3 são 1 e 2, por isso, o evento possui apenas dois elementos. O espaço amostral possui seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

P(E) = n(E)
          n(Ω)

P(E) = 2
          6

P(E) = 0,33... = 33,3%

→ Qual é a chance de não sair o número 1 no lançamento de um dado?

Solução:

Temos duas maneiras de resolver esse problema. Note que não sair o número 1 é o mesmo que sair qualquer outro número. Faremos o mesmo cálculo de probabilidade considerando que o evento possui cinco elementos.

A outra maneira é usar a fórmula para a probabilidade de um evento não ocorrer:

P(A-1) = 1 – P(E)

O evento que não pode ocorrer possui apenas um elemento, logo:

P(A-1) = 1 – P(E)

P(A-1) = 1 – n(E)
                  n(Ω)

P(A-1) = 1 – 1
                  6

P(A-1) = 1 – 0,166..

P(A-1) = 0,8333… = 83,3%

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Professor Fernando Z. Respondeu há 5 anos

Olá Bruna.

Talvez seja tarde demais para a sua prova. Mas como foram dadas respostas distintas vamos analisar o problema.3 Moedas lançadas simultaneamenteQuaisquer 2 caras (C) eQualquer 1 coroa (K).Não é exigida nenhuma ordem de queda específica.Vamos seguir a linha do Prof. Bruno Holanda e escrever todos os resultados possíveisCCCCCK <- 2C 1KCKC <- 2C 1KCKKKCC <- 2C 1KKCKKKC

KKK

Há 3 combinações que atendem o solicitado entre as 8 totais.Portanto concordo com o Prof. Bruno Holanda com 3/8 = 37,5 %.==============Sobre o problema.Lembrem-se de que isso recai na análise binomial [1] e as combinações de n elementos em k posições Comb(n,k) são dadas pelo triângulo de Pascal [2]:Notem que temos n = 3 elementos então a linha do triângulo procura é: 1 3 3 1Se queremos 2C, então temos Comb(2,3) = 3.Se quiséssemos 1C, então teríamos Comb(1,3) = 3.A igualdade entre as duas possibilidades não é gratuita, repare que a pergunta é totalmente equivalente se fosse 1C e 2K. O resultado da probabilidade por outro lado não se altera por p = 1/2 e q = 1 - p = 1/2.Se quiséssemos 3C, então teríamos Comb(3,3) = 1. (O mais à direita).Se quiséssemos 0C, então teríamos Comb(0,3) = 1. (O mais à esquerda).

[1] https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribui%C3%A7%C3%A3o_binomial