Se duas grandezas xey x, são diretamente proporcionais e possível afirmar sobre a taxa média d

Regra de três simples é utilizada em problemas que envolvem a relação entre duas ou mais grandezas. Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido. Esses problemas podem ser de ordem direta ou inversamente proporcional e são muito frequentes no cotidiano.

Saiba mais: Regra de três composta: constituída por mais de duas grandezas

Como calcular a regra de três simples?

Para calcular a solução de um problema utilizando a regra de três simples, temos que fazer a razão entre as grandezas e analisar se estas são direta ou inversamente proporcionais. Vamos lembrar como é cada uma delas?

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento ou diminuição na medida da primeira gera o mesmo na medida da segunda.

São exemplos de grandezas diretamente proporcionais:

  • Velocidade e distância;

  • Gravidade e peso.

Dados dois números x e y, dizemos que eles são diretamente proporcionais aos números a e b, se a razão entre eles for igual.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento ou diminuição na medida de uma delas faz com que a medida da outra sofra a alteração contrária na mesma proporção.

Dados dois números x e y, vamos dizer que eles são inversamente proporcionais aos números a e b, se o produto entre os primeiros for igual ao produto entre os segundos.

a · x = b · y

Exemplos

Exemplo 1 - Uma empresa gasta 6 peças de plástico para produzir um ventilador. Quantas peças são necessárias para produzir 25 ventiladores?

Para resolver esse problema, vamos dispor os dados em uma tabela, a fim de facilitar nossa interpretação.

Peças de plástico

Quantidade de ventiladores

6

1

x

25

Veja que as grandezas são diretamente proporcionais, visto que, quanto mais peças de plástico temos, mais ventiladores confeccionamos. Assim:

Exemplo 2 - Uma empresa de costura com 6 costureiras consegue terminar uma demanda de serviço em 24 dias. A fim de fazer o mesmo serviço com 8 costureiras, quantos dias serão necessários para terminá-lo?

De maneira semelhante, vamos dispor os dados do problema em uma tabela:

Número de costureiras

Dias de serviço

6

24

8

x

Observe que as grandezas são agora inversamente proporcionais, pois quanto mais costureiras temos, menos dias de serviço serão necessários. Precisamos inverter uma das grandezas antes de prosseguir com a conta, veja:

Leia também: Três erros cometidos na regra de três

Como calcular porcentagem com regra de três?

Para calcular porcentagem de algo utilizando regra de três, temos que ter em mente que 100% sempre irão ser equivalentes ao todo e que as razões referentes à porcentagem são constituídas sobre um denominador 100.

Um senhor pegou emprestado com um amigo uma quantia de R$ 3.000 para quitar uma dívida no banco. Entretanto esse senhor teve um gasto inesperado com seu carro e gastou a quantia de R$ 600. Quantos por cento esse senhor gastou do total?

3000 ---------- 100%

600 ------------- x

Se duas grandezas xey x, são diretamente proporcionais e possível afirmar sobre a taxa média d
A regra de três simples é muito utilizada em situações cotidianas que envolvam proporções entre grandezas.

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Unisinos - RS) Sabendo-se que a distância entre duas cidades num mapa, na escala 1: 1.600.000, é de 8 cm, qual é a distância real entre elas?

a) 2 km

b) 12,8 km

c) 20 km

d) 128 km

e) 200 km

Solução:

Sabemos que cada um centímetro no mapa equivale a 1.600.000 centímetros na vida real. Assim:

Resposta: alternativa d

Questão 2 - (Unicamp - SP) A razão entre a idade de Pedro e a de seu pai é igual a dois nonos. Se a soma das duas idades é igual a 55 anos, então Pedro tem:

a) 12 anos

b) 13 anos

c) 10 anos

d) 15 anos

Solução:

Vamos nomear a idade de Pedro por P e a idade do pai de Pedro por C. Logo:

Resposta: alternativa c

Se duas grandezas xey x, são diretamente proporcionais e possível afirmar sobre a taxa média d

4 60 5 75 6 90 7 105 8 120 Verifique mentalmente se as grandezas tempo e volume estão em uma relação direta de proporcionalidade. y 1 __ x 1 5 y 2 __ x 2 5 y 3 __ x 3 5 y 4 __ x 4 5 ... 5 k L nL A 5 L2 A 5 (nL)2 L nL P 5 4L P 5 4nL 3P_EMM1_LA_U02_C04_062A083.indd 75 24.07.09 11:54:31 76 Introdução às funções4 Duas grandezas, x e y, são inversamente proporcionais quando satisfazem duas condições. Os valores de � x aumentam quando os de y diminuem, e vice-versa. O produto � x ? y é constante, ou seja, x ? y 5 k, com k . 0. Definição x 1 ? y 1 5 x 2 ? y 2 5 x 3 ? y 3 5 x 4 ? y 4 5 k x e y são inversamente proporcionais xy 5 k à y 5 k __ x x 4 y 1 x 3 y 2 x 2 y 3 x 1 y 4 Proporcionalidade inversa   A seguir são apresentadas duas outras situações que apresentam a relação entre duas grandezas. Na situação que relaciona os lados de um retângulo, uma grandeza depen- de da outra. Além disso, o produto dessas grandezas é constante, isto é, as grandezas x e y estão em uma relação de proporcionalidade inversa. Essa re- lação de proporcionalidade inversa pode ser expressa por y 5 1 __ x . Já na situa- ção que relaciona a massa e o tempo, as grandezas estão em uma relação de dependência, porém não de proporcionalidade. Relação entre os lados de um retângulo Relação entre massa e tempo A tabela indica alguns valores possíveis para os lados x e y de retângulos cuja área seja igual a 1 m2. x (m) 1 __ 8 1 __ 4 2 __ 3 1 dXX 5 3 y (m) 8 4 3 __ 2 1 1 ___ dXX 5 1 __ 3 Analisando o retângulo, dois fatos podem ser verificados. • Se a medida x aumenta, a medida y diminui. • O produto x ∙ y é igual a uma constante k, por exemplo, 1 __ 8 ? 8 5 1 __ 4 ? 4 5 2 __ 3 ? 3 __ 2 5 1 ? 1 5 dXX 5 ? 1 ___ dXX 5 5 3 ? 1 __ 3 5 1 A massa de determinado elemento radioativo que se desintegra diminui com o passar do tempo. A tabela abaixo mostra a desintegração desse elemento com massa inicial de 100 g após 48 anos. Massa (g) 100 50 25 12,5 6,25 3,12 1,56 Tempo (anos) 0 8 16 24 32 40 48 Nessa situação, a grandeza massa m diminui enquanto a grandeza tempo t aumenta. Porém, o produto entre as grandezas não é igual a uma constante k, por exemplo, 100 ? 0  50 ? 8  25 ? 16  12,5 ? 24  6,25 ? 32  3,12 ? 40  1,56 ? 48 isto é, não é possível expressar os valores da tabela por uma relação m 5 k __ t O esquema a seguir representa uma proporcionalidade inversa entre x e y. Uma relação de proporcionalidade inversa pode ser interpretada como uma função ƒ, desde que sejam redefinidos os objetos conforme a seguir. O conjunto dos possíveis valores de uma grandeza será o domínio � D. O conjunto dos possíveis valores da outra grandeza será a imagem � Im. A relação de proporcionalidade será a lei de correspondência da função � ƒ, ou seja, ƒ(x) 5 k __ x . Por exemplo, a relação de proporcionalidade inversa entre os lados de retângulos cuja área mede 1 m 2 representa uma função ƒ, uma vez que ƒ: R 1 é R 1 ; ƒ ( x ) 5 k ? 1 __ x . x y Constante de proporcionalidade A constante ` k de uma proporcionalidade direta ou de uma proporcionalidade indireta é denominada constante de proporcionalidade. Saiba mais 3P_EMM1_LA_U02_C04_062A083.indd 76 24.07.09 11:54:31 77 Durante um dia chuvoso foram registrados o au-37. mento do nível da água de um rio e o tempo de chuva em horas. Aumento do nível de água (cm) Tempo de chuva (h) 26 2 39 3 52 4 65 5 91 7 117 9 a) Verifique se as grandezas aumento no nível de água e tempo de chuva estão em uma relação de proporcionalidade direta. b) Represente por uma fórmula matemática a re- lação entre os dados da tabela. c) Determine o aumento no nível do rio após 13 horas de chuvas. Três pessoas constroem um muro em cinco dias. 38. Quantas pessoas são necessárias para construir o mesmo muro em sete dias e meio? Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minu-39. tos. Em uma hora e meia, quantos litros de água ela fornecerá? Exercícios resolvidos Determinada máquina produz 100 peças em 34. 40 minutos. Quantas peças essa máquina produ- zirá se trabalhar por duas horas no mesmo ritmo de produção? Resolução Existe uma proporcionalidade direta entre as gran- dezas quantidade de peças e tempo. De fato, se o tempo de trabalho da máquina aumenta, a quanti- dade de peças produzidas também aumenta. Considere as duas grandezas: t: tempo de funcionamento da máquina; n: quantidade de peças produzidas. De n __ t 5 100 ____ 40 5 2,5, é possível escrever a relação n 5 2,5t. Como 2 horas 5 120 minutos, basta substituir t 5 120 na relação n 5 2,5t. Assim, n 5 2,5t ä n 5 2,5 ? 120 5 300. Portanto, a máquina produzirá 300 peças em 2 horas de funcionamento. Dois pintores gastam 15 horas para pintar uma 35. parede. Quanto tempo 5 pintores levariam para fazer o mesmo serviço? Exercícios propostos Resolução Se aumenta o número de pintores, o tempo do serviço diminui, portanto as grandezas tempo e número de pintores são inversamente propor- cionais. Adota-se: t: tempo para pintar a parede; n: número de pintores. Se n e t são inversamente proporcionais, então: n ? t 5 2 ? 15 5 30. Assim, t 5 30 ___ n Para encontrar o tempo que 5 pintores gastariam para fazer o mesmo serviço, basta substituir n 5 5 em t 5 30 ___ n ä t 5 30 ___ 5 5 6. Os 5 pintores levariam 6 horas para pintar a parede. Determinar os valores de 36. x e y para que as sequências (2, 4, x) e (6, y, 18) sejam diretamente proporcionais. Resolução Para isso é preciso determinar a constante de pro- porcionalidade, k 5 6 __ 2 5 3, portanto k 5 3. Então: y __ 4 5 18 ___ x 5 3. Resolvendo as equações: y __ 4 5 3 ä ä y 5 12 e 18 ___ x 5 3 ä x 5 6. Logo, x 5 6 e y 5 12. A distância entre duas cidades é de 720 km. O 40. tempo de viagem de um automóvel que vai de uma cidade a outra depende da velocidade mé- dia mantida durante o percurso. Velocidade média (km/h) Tempo (h) 80 9 60 12 50 14,4 30 24 a) Verifique se velocidade média e tempo estão em uma relação de proporcionalidade. b) Represente por uma fórmula matemática a re- lação entre os dados da tabela. c) Determine que velocidade média o automóvel deve manter para terminar o percurso em 10 h. Sabe-se que 41. x e y são grandezas diretamente proporcionais e que y 5 15 quando x 5 3. a) Escreva uma fórmula matemática que relacio- ne y com x. b) Determine o valor de y quando x 5 7. c) É possível afirmar que x e y estão em uma re- lação de proporcionalidade? 4P_EMM1_LA_U02_C04_062A083.indd 77 03.08.09 13:52:59 78 Exercícios complementares 4 Introdução às funções Exercícios complementares A definição de função Descubra a lei de correspondência que relaciona 42. y com x em cada tabela abaixo. a) x 1 2 3 4 5 6 y 5 7 9 11 13 15 b) x 7 8 9 10 11 12 y 3 2 1 0 21 22 c) x 3 4 5 6 7 8 y 10 17 26 37 50 65 Em uma montanha russa de um parque de diver-43. sões, um carrinho desce em linha reta na vertical se- gundo a lei h(t) 5 5 ? t2, em que h é a altura em me- tros e t o tempo em segundos. Sabendo que a altura da montanha russa é de 80 metros, determine qual é o tempo de duração da queda desse carrinho. A tabela mostra a distância 44. d em metros percorrida por um automóvel, que parte de uma cidade A em di- reção a uma cidade B, em cada instante de tempo t, em segundos. t(s) 0 1 2 3 4 5 d(m) 0 18 36 54 72 90 a) Escreva uma fórmula que relacione d e t. b) Determine o tempo em horas de viagem do au- tomóvel de A até B, sabendo que a distância en- tre A e B é 120 km. Uma imobiliária cobra pelos seus serviços uma co-45. missão de 6% sobre o preço de venda do imóvel mais uma taxa fixa de RS|| 200,00 de custos admi- nistrativos. a) Qual é o valor que essa imobiliária cobrará de um cliente pela venda de um apartamento

Se duas grandezas xey x, são diretamente proporcionais e possível afirmar sobre a taxa média d
Se duas grandezas xey x, são diretamente proporcionais e possível afirmar sobre a taxa média d
Se duas grandezas xey x, são diretamente proporcionais e possível afirmar sobre a taxa média d