Sabendo que o polígono a seguir é regular, o valor de cada um dos seus ângulos internos é:

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo pode ser determinada conhecendo o número de lados (n), bastando subtrair este valor por dois (n - 2) e multiplicar por 180°.

Um polígono é uma superfície fechada formada por uma linha poligonal, ou seja, os lados são segmentos de reta, e o encontro entre dois lados forma um ângulo. No caso do polígono ser convexo, todos os ângulos internos são menores que 180°.

Para somar os ângulos internos de um polígono convexo ou conhecemos os valores de todos os ângulos e somamos, ou podemos determinar a soma conhecendo o número de lados deste polígono.

Conhecer o total de lados de um polígono é, em muitos casos, uma informação mais fácil de obter do que os valores de cada ângulo.

Fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono

Para determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo conhecendo apenas o número de lados, utilizamos a fórmula:

Onde,
Si é a soma, o total de graus de todos os ângulos.
n é o número de lados.

Exemplo
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é:

Como um quadrilátero possui 4 lados, n será igual a 4.

Soma dos ângulos internos de um polígono regular

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é calculada da mesma forma. Um polígono é regular quando possui todos os lados e ângulos com medidas iguais. O número de ângulos é sempre igual o número de lados.

Ângulo interno de um polígono regular

Como todos os ângulos possuem mesma medida, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de ângulos, portanto, número de lados.

Onde, Si é a soma, o total de graus de todos os ângulos.

n é o número de lados.

Exemplo
A medida dos ângulos internos de um pentágono regular é:

Primeiro determinamos a soma de seus ângulos internos usando n = 5.

Agora, basta dividir pelo número de lados.

Nome de polígonos em função dos lados

Nome de alguns polígonos em função da quantidade de lados.

Partimos da premissa de que todo triângulo possui 180° como soma de seus ângulos internos.

A partir de um vértice qualquer de um polígono convexo, podemos traçar diagonais e formar triângulos.

Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é igual a 180°, basta multiplicar o número de triângulos formados por 180°.

Podemos observar que a quantidade de triângulos formados é sempre igual ao número de lados menos 2.

Para um triângulo, n =3.

Para um quadrilátero, n = 4.

Para um pentágono, n = 5.

Desta forma, podemos generalizar e substituir o termo nº de triângulos por (n-2) e a fórmula fica assim:

Aprenda mais sobre polígonos e ângulos.

Exercícios

Exercício 1

Determine a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com 17 lados.

Qual o nome de um polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1 440°?

Exercício 3

Determine o valor dos ângulos internos de um octógono regular.

Pratique mais exercícios sobre polígonos.

Veja também:

Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.

Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta. Essa figura é fechada e nenhum desses segmentos de reta encontra-se a não ser em suas extremidades. Quando o polígono é convexo, é possível descobrir a soma dos seus ângulos internos sem ter que medi-los. Isso é feito por meio de uma fórmula matemática.

Polígono convexo

Um polígono é convexo quando o segmento de reta cujas extremidades são pontos do interior do polígono está inteiramente dentro dele. Em outras palavras, alguns polígonos possuem uma espécie de “boca”, de modo que é possível escolher dois de seus pontos e ligá-los por um segmento de reta que não está inteiramente dentro do polígono. Esses são os chamados não convexos.

Observe a imagem a seguir que mostra um polígono convexo à esquerda e um não convexo à direita.

Soma dos ângulos internos

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Tendo isso em mente, podemos pensar em dividir os polígonos convexos em triângulos. Se um polígono pode ser dividido em três triângulos, por exemplo, a soma dos seus ângulos internos é igual a 3 vezes 180.

Para tanto, é preciso criar uma divisão em que a soma dos ângulos dos triângulos seja igual à soma dos ângulos dos polígonos.

É fácil ver que, se escolhermos um vértice de um polígono, as suas diagonais formarão triângulos que cumprem esse pré-requisito. Observe a imagem a seguir:

Essa figura é um hexágono. Repare que, partindo de um mesmo vértice, é possível dividi-lo em quatro triângulos. Para qualquer figura, sempre será possível encontrar n – 3* diagonais partindo do mesmo vértice e, consequentemente, serão formados n – 2* triângulos nesse processo (*n = número de lados do polígono).

Como já foi dito, a soma dos ângulos internos de um polígono é igual ao número de triângulos formados dentro dele multiplicado por 180°. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é:

S = (n – 2)180°

Exemplos:

• Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono convexo?

Os icoságonos são polígonos que possuem 20 lados. A soma dos ângulos internos é:

S = (n – 2)180

S = (20 – 2)180

S = 18·180

S = 3280°

• Qual é a medida de cada ângulo interno de um icoságono regular?

Polígonos regulares possuem ângulos congruentes. Assim, já sabendo que a soma dos ângulos internos do icoságono é 3280°, cada ângulo dele é igual a:

3280 = 162°
20           

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

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