Relação fundamental da trigonometria exercícios pdf

Acompanhe aqui vários exercícios resolvidos sobre a relação fundamental da trigonometria.

A relação não é complicada, mas mesmo assim o ideal é que o estudante já tenha lido o nosso conteúdo sobre o assunto.

Bom estudo!

Exercício 1. Utilizando a relação da trigonometria, calcule o valor aproximado do seno de 25º, sabendo que cos25º ≅ 0,9.

sen²θ + cos²θ = 1

sen²25º + cos²25º = 1

sen²25º + (0,9)² ≅ 1

sen²25º + 0,81 ≅ 1

sen²25º  ≅ 1 – 0,81

sen²25º  ≅ 0,19

sen25º ≅ √0,19

sen25º ≅ 0,43

Exercício 2. Utilizando a relação da trigonometria, calcule o valor aproximado do cosseno de 10º, sabendo que sen10º ≅ 0,17.

sen²θ + cos²θ = 1

sen²10º + cos²10º = 1

(0,17)² + cos²10º ≅ 1

0,03 + cos²10º ≅ 1

cos²10º ≅ 1 – 0,03

cos²10º ≅ 0,97

cos10º ≅ √0,97

sen10º ≅ 0,98

Exercício 3. Calcule o valor aproximado do cosseno de 30º, sabendo que o seno de 30º é 0,5. Utilize a relação fundamental da trigonometria.

sen²θ + cos²θ = 1

sen²30º + cos²30º = 1

(0,5)² + cos²40º = 1

0,25 + cos²40º = 1

cos²30º = 1 – 0,25

cos²30º = 0,75

cos30º = √0,75

cos30º ≅ 0,87

Exercício 4. Calcule o valor aproximado do cosseno de 37º, sabendo que sen37º ≅ 0,6. Utilize a relação fundamental da trigonometria.

sen²θ + cos²θ = 1

sen²37º + cos²37º = 1

(0,6)² + cos²37º ≅ 1

0,36 + cos²37º ≅ 1

cos²37º ≅ 1 – 0,36

cos²37º ≅ 0,64

cos37º ≅ √0,64

cos37º ≅ 0,8

Exercício 5. Calcule o valor aproximado do cosseno de 82º, sabendo que sen82º ≅ 0,99.

sen²θ + cos²θ = 1

sen²82º + cos²82º = 1

(0,99)² + cos²82º ≅ 1

0,98 + cos²82º ≅ 1

cos²82º ≅ 1 – 0,98

cos²82º ≅ 0,02

cos82º ≅ √0,02

cos82º ≅ 0,14

Resposta Questão 1

Para resolver essa questão, precisamos nos lembrar da relação fundamental da trigonometria que garante que:

sen² θ + cos² θ = 1
cos² θ = 1 – sen² θ

A partir disso, vamos substituir o valor encontrado para cos² θ na expressão

cos² θ = 1 – sen² θ
1 – sen θ  1 – sen θ   

Você deve concordar que podemos expressar 1 – sen² θ como 1² – sen θ. Essa pequena mudança ajuda a visualizar a presença do produto notável conhecido como “produto da soma pela diferença”. De acordo com esse produto notável, podemos afirmar que:

1² – sen θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)

Substituindo essa igualdade na expressão que estamos trabalhando, teremos:

cos² θ = 1 – sen² θ = (1 – sen θ).(1 + sen θ)
 1 – sen θ   1 – sen θ              1 – sen θ                

Dividindo o numerador e o denominador da expressão por (1 – sen θ), restará:

cos² θ = 1 + sen θ
1 – sen θ                   

Portanto, a alternativa correta é a letra b.

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Resposta Questão 2

Partindo da ideia do arco duplo, podemos reescrever cos 2x como cos² x – sen² x. Sendo assim, temos:

cos 2x = 0,2
cos² x – sen² x = 0,2
cos² x = 0,2 + sen² x

Mas pela relação fundamental da trigonometria, temos que sen² x + cos² x = 1. Substituindo o valor anteriormente encontrado para cos² x nessa equação, teremos:

sen² x + cos² x = 1
sen² x + (0,2 + sen² x) = 1
2.sen² x = 1 – 0,2
2.sen² x = 0,8
sen² x = 0,8
               2
sen² x = 0,4

No momento, não é interessante extrair a raiz de sen² x. Vamos agora substituir o valor encontrado na equação trigonométrica cos² x = 0,2 + sen² x:

cos² x = 0,2 + sen² x
cos² x = 0,2 + 0,4
cos² x = 0,6

Como já identificamos os valores de sen² x e de cos² x, vamos determinar o valor de tg² x:

tg² x = sen² x
            cos² x
tg² x = 0,4
            0,6
tg² x = 4
           6
tg² x = 2
           3

Portanto, a alternativa correta é a letra b. 

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Resposta Questão 3

Como já temos o valor de sen x, vamos utilizar a relação fundamental da trigonometria para determinar o valor de cos x:

sen² x + cos² x = 1
4² + cos² x = 1
5²                     
cos² x = 1 – 16
                    25
cos² x = 9
              25
cos x = ± √9
                √25
cos x = 3
             5

Observe que, nesse caso, o resultado negativo da raiz quadrada não é adequado, pois, como o ângulo x encontra-se no 1° quadrante, o valor de seu cosseno é positivo. Vamos agora desenvolver a expressão A:

A = cos x + tg x
cotg x . sec x

A = 

A = 

A = cos² x + sen x . sen x
          cos x              1

A = (cos² x).(sen x) + sen² x
cos x

Substituindo os valores de cos x e sen x na equação, teremos:

A = (cos² x).(sen x) + sen² x
    cos x

A = 

A = 116 . 5
      125    3

A = 116
       75

Portanto, para sen x = 4/5, temos que A = 116/75.

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Resposta Questão 4

Apesar de não ter sido solicitado o valor de sen x, precisamos identificá-lo para que possamos determinar os demais valores pedidos. Através da relação fundamental da trigonometria, temos:

sen² x + cos² x = 1

sen² x + 4² = 1
         5²

sen² x = 1 – 16
                    25

sen² x = 9
             25

sen x = 3
             5

Vamos agora determinar o valor de tg x:

tg x = sen x
          cos x

tg x = 

tg x = 3 . 5
           5   4

tg x = 3
          4

Como cotg x é a função inversa de tg x, basta fazer:

cotg x = 1
              tg x

cotg x = 4
               3

Vamos determinar o valor de sec x:

sec x = 1
            cos x

sec x = 

sec x = 1 . 5
                 4

sec x = 5
             4

Por fim, resta determinar o valor de cossec x:

cossec x = 1
                 sen x

cossec x = 

cossec x = 1 . 5
                        3

cossec x = 5
                   3

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