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Essa Resposta do exercício é de nível Ensino médio (secundário) e pertence à matéria de Matemática.
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Pergunta
O termo que ocupa a posiçao N em uma progressao aritmetica (PA) de razao R é dado pela formula an= a 1 + (n- 1 )r. com o auxilio dessa informaçao , assinale a alternativa que apresenta o décimo quarto termo de um PA de razao 3,cujo primeiro termo é igual a 20 . (a) 39 (b) 42 (c) 59 (d) 62 (e) 70
Resposta
R=3a1=20a14=?an=a1+(n-1).ra14=20+(14-1).3a14=20+(13).3a14=20+39a14=59. A alternativa que apresenta o décimo quarto termo da P.A. é c) 59.O termo geral de uma progressão aritmética é definido por aₙ = a₁ + (n – 1).r, sendo:a₁ = primeiro termon = quantidade de termosr = razão.De acordo com o enunciado, temos que o primeiro termo da progressão aritmética é 20. Então, a₁ = 20.Além disso, temos que a razão é igual a 3. Logo, r = 3.Como queremos saber qual é o décimo quarto termo, então devemos considerar que n = 14.Substituindo essas informações na fórmula do termo geral, obtemos:a₁₄ = 20 + (14 – 1).3a₁₄ = 20 + 13.3a₁₄ = 20 + 39a₁₄ = 59.Portanto, podemos concluir que o 14º termo da progressão aritmética vale 59.Alternativa correta: letra c).Para mais informações sobre progressão aritmética: 18323068
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Uma sequência numérica é chamada de progressão aritmética, ou apenas PA, se a diferença entre qualquer um de seus termos e o termo imediatamente anterior é sempre a mesma.
Observe o exemplo abaixo em que a sequência numérica cumpre essa definição:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …)
Observe nesse exemplo que, independentemente do termo escolhido, exceto o primeiro, a diferença entre ele e seu antecessor é sempre 2. Essa diferença é chamada de razão da Progressão Aritmética.
Classificação das progressões aritméticas
Uma progressão aritmética pode ser classificada de três maneiras: crescente, constante ou decrescente.
O primeiro caso acontece quando a razão é positiva. Nesse caso, um termo qualquer é sempre maior que seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão 5 (número positivo).
(2, 7, 12, 17, …)
O segundo caso acontece quando a razão é igual a zero. Nesse caso, qualquer termo é igual ao seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão zero:
(1, 1, 1, 1, …)
O terceiro caso acontece quando a razão é negativa. Nesse caso, qualquer termo é menor que seu antecessor. Observe o exemplo de PA de razão - 2 (número negativo).
(10, 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …)
Termo geral de uma PA
Quando conhecemos o primeiro termo de uma PA (a1) e sua razão, podemos encontrar um termo que ocupa qualquer outra posição sem que haja necessidade de escrever toda a sequência numérica. Para tanto, utilizamos a seguinte fórmula:
an = a1 + (n – 1)r
an é o termo que se quer descobrir e n é a posição que ele ocupa.
Veja um exemplo: dada uma PA de razão 7, com primeiro termo igual a 5, como encontrar o quarto termo dessa PA sem escrever toda a sequência numérica?
A partir da fórmula acima, escrevemos:
an = a1 + (n – 1)r
a4 = 5 + (4 – 1)7
a4 = 5 + (3)7
a4 = 5 + 21
a4 = 26
Para conferir, vamos escrever toda a sequência. O primeiro termo é 5, e o segundo termo tem que ser igual ao primeiro somado a 7, que é a razão da PA. Isso porque qualquer termo menos seu antecessor resulta na razão. Para encontrar o terceiro termo, adicionamos 7 ao segundo. Para encontrar o quarto termo, adicionamos 7 ao terceiro. Os resultados são:
5, 12, 19, 26
Essa fórmula é mais usada para encontrar termos que ocupam posições muito distantes do início da PA, em casos onde não seria possível escrever toda a sequência para verificar o termo em questão. Veja um exemplo:
Nas mesmas circunstâncias do exemplo anterior, determine o termo 700°.
an = a1 + (n – 1)r
a700 = 5 + (700 – 1)7
a700 = 5 + (699)7
a700 = 5 + 4893
a700 = 4898
Soma dos termos de uma PA finita
Também conhecida como soma dos n primeiros termos de uma PA, tendo em mãos o primeiro termo, o último e o número de termos entre eles (contando com os dois), é possível encontrar a soma dos termos de uma PA sem que seja necessário somá-los realmente. A fórmula para isso é a seguinte:
Sn = (a1 + an)n
2
Exemplo:
Calcule a soma dos 100 primeiros termos da PA seguinte:
(1, 2, 3, 4, …)
Em outras palavras, calcule a soma de todos os números naturais que vão de 1 a 100. Sabendo que o primeiro termo é 1 e o último é 100 e que essa PA possui 100 termos, calculamos:
Sn = (a1 + an)n
2
S100 = (1 + 100)100
2
S100 = (101)100
2
S100 = 10100
2
S100 = 5050
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:
O termo que ocupa a posição n em uma progressão aritmética (PA) de razão r é dado pela formula An=A1+(N-1).R. Com o auxílio dessa informação, assinale a alternativa que apresenta o décimo quarto termo de uma PA de razão 3, cujo primeiro termo é igual a 20
Respostas
1
Com a fórmula PA: An = A1 + (N-1) .R, podemos encontrar o valor do décimo quarto termo simplesmente substituindo os dados no problema.
n = 14
A1 = 20
y = 3
Ah = A1 + (N-1).R
A 14 = 20 + (14-1) 3
A14 = 59
Resposta: (c) 59
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2
Forma comum da palavra:
a = a1 + (n – 1) r
A 14 = 20 + (14-1) 3
a14 = 20 + 13,3
A 14 = 20 + 39
a14 = 59 seção 14.
em vez de c