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No Ensino Fundamental, funções são fórmulas matemáticas que associam cada número de um conjunto numérico (o domínio) a um único número pertencente a outro conjunto (o contradomínio). Quando essa fórmula é uma equação do segundo grau, temos uma função do segundo grau.
As funções podem ser representadas por figuras geométricas cujas definições coincidem com suas fórmulas matemáticas. É o caso da reta, que representa funções do primeiro grau, e da parábola, que representa funções do segundo grau. Essas figuras geométricas são chamadas de gráficos.
A ideia central da representação de função por um gráfico
Para desenhar o gráfico de uma função, é preciso avaliar qual elemento do contradomínio está relacionado com cada elemento do domínio e marcá-los, um a um, em um plano cartesiano. Quando todos esses pontos forem marcados, o resultado será justamente o gráfico de uma função.
Vale ressaltar que as funções do segundo grau, geralmente, são definidas em um domínio igual a todo o conjunto dos números reais. Esse conjunto é infinito e, por isso, é impossível marcar todos os seus pontos em um plano cartesiano. Desse modo, a alternativa é esboçar um gráfico que possa representar em parte a função avaliada.
Antes de qualquer coisa, lembre-se de que as funções do segundo grau possuem a seguinte forma:
y = ax2 + bx + c
Diante disso, apresentamos cinco passos que tornam possível a construção de um gráfico de função do segundo grau, exatamente como os que são exigidos no Ensino Médio.
Passo 1 – Avaliação geral da função
Existem alguns indicadores que ajudam a descobrir se o caminho certo está sendo tomado ao construir o gráfico de funções do segundo grau.
I - O coeficiente “a” de uma função do segundo grau indica sua concavidade, ou seja, se a > 0, a parábola será para cima e possuirá ponto de mínimo. Se a < 0, a parábola será para baixo e possuirá ponto de máximo.
II) O primeiro ponto A do gráfico de uma parábola pode ser facilmente obtido apenas observando o valor do coeficiente “c”. Desse modo, A = (0, c). Isso ocorre quando x = 0. Observe:
y = ax2 + bx + c
y = a·02 + b·0 + c
y = c
Passo 2 – Encontrar as coordenadas do vértice
O vértice de uma parábola é o seu ponto de máximo (se a < 0) ou de mínimo (se a > 0). Ele pode ser encontrado pela substituição dos valores dos coeficientes “a”, “b” e “c” nas fórmulas:
xv = – b
2a
yv = – ∆
4a
Desse modo, o vértice V é dado pelos valores numéricos de xv e yv e pode ser escrito assim: V = (xv,yv).
Passo 3 – Pontos aleatórios do gráfico
É sempre bom indicar alguns pontos aleatórios cujos valores atribuídos à variável x sejam maiores e menores que xv. Isso lhe dará pontos antes e depois do vértice e tornarão o desenho do gráfico mais fácil.
Passo 4 – Se possível, determine as raízes
Quando existem, as raízes podem (e devem) ser incluídas no desenho do gráfico de uma função do segundo grau. Para encontrá-las, faça y = 0 para obter uma equação do segundo grau que possa ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Lembre-se de que resolver uma equação do segundo grau é o mesmo que encontrar suas raízes.
A fórmula de Bhaskara depende da fórmula do discriminante. São elas:
x = – b ± √∆
2a
∆ = b2 – 4ac
Passo 5 – Marcar todos os pontos obtidos no plano cartesiano e ligá-los, de modo a construir uma parábola
Lembre-se de que o plano cartesiano é formado por duas retas numéricas perpendiculares. Isso significa que, além de conter todos os números reais, essas retas formam um ângulo de 90°.
Exemplo de plano cartesiano e exemplo de parábola.
Exemplo
Construa o gráfico da função do segundo grau y = 2x2 – 6x.
Solução: Observe que os coeficientes dessa parábola são a = 2, b = – 6 e c = 0. Dessa maneira, pelo passo 1, podemos afirmar que:
1 – A parábola ficará para cima, pois 2 = a > 0.
2 – Um dos pontos dessa parábola, representado pela letra A, é dado pelo coeficiente c. Logo, A = (0,0).
Pelo passo 2, observamos que o vértice dessa parábola é:
xv = – b
2a
xv = – (– 6)
2·2
xv = 6
4
xv = 1,5
yv = – ∆
4a
yv = – (b2 – 4·a·c)
4·a
yv = – ((– 6)2 – 4·2·0)
4·2
yv = – (36)
8
yv = – 36
8
yv = – 4,5
Logo, as coordenadas do vértice são: V = (1,5, – 4,5)
Utilizando o passo 3, escolheremos apenas dois valores para a variável x, um maior e outro menor que xv.
Se x = 1,
y = 2x2 – 6x
y = 2·12 – 6·1
y = 2·1 – 6
y = 2 – 6
y = – 4
Se x = 2,
y = 2x2 – 6x
y = 2·22 – 6·2
y = 2·4 – 12
y = 8 – 12
y = – 4
Logo, os dois pontos obtidos são B = (1, – 4) e C = (2, – 4)
Pelo passo 4, que não precisa ser feito caso a função não possua raízes, obtemos os seguintes resultados:
∆ = b2 – 4ac
∆ = (– 6)2 – 4·2·0
∆ = (– 6)2
∆ = 36
x = – b ± √∆
2a
x = – (– 6) ± √36
2·2
x = 6 ± 6
4
x' = 12
4
x' = 3
x'' = 6 – 6
4
x'' = 0
Logo, os pontos obtidos por meio das raízes, tendo em vista que, para obter x = 0 e x = 3, foi preciso fazer y = 0, são: A = (0, 0) e D = (3, 0).
Com isso, obtemos seis pontos para desenhar o gráfico da função y = 2x2 – 6x. Agora basta cumprir o passo 5 para construí-lo definitivamente.
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
As funções trigonométricas, também chamadas de funções circulares, estão relacionadas com as demais voltas no ciclo trigonométrico.
As principais funções trigonométricas são:
- Função Seno
- Função Cosseno
- Função Tangente
No círculo trigonométrico temos que cada número real está associado a um ponto da circunferência.
Figura do Círculo Trigonométrico dos ângulos expressos em graus e radianos
Funções Periódicas
As funções periódicas são funções que possuem um comportamento periódico. Ou seja, que ocorrem em determinados intervalos de tempo.
O período corresponde ao menor intervalo de tempo em que acontece a repetição de determinado fenômeno.
Uma função f: A → B é periódica se existir um número real positivo p tal que
f(x) = f (x+p), ∀ x ∈ A
O menor valor positivo de p é chamado de período de f.
Note que as funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas visto que apresentam certos fenômenos periódicos.
Função Seno
A função seno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
f(x) = sen x
No círculo trigonométrico, o sinal da função seno é positivo quando x pertence ao primeiro e segundo quadrantes. Já no terceiro e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e quarto quadrantes a função f é crescente. Já no segundo e terceiro quadrantes a função f é decrescente.
O domínio e o contradomínio da função seno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(sen)=R.
Já o conjunto da imagem da função seno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 sen x 1.
Em relação à simetria, a função seno é uma função ímpar: sen(-x) = -sen(x).
O gráfico da função seno f(x) = sen x é uma curva chamada de senoide:
Gráfico da função seno
Leia também: Lei dos Senos.
Função Cosseno
A função cosseno é uma função periódica e seu período é 2π. Ela é expressa por:
f(x) = cos x
No círculo trigonométrico, o sinal da função cosseno é positivo quando x pertence ao primeiro e quarto quadrantes. Já no segundo e terceiro quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, no primeiro e segundo quadrantes a função f é decrescente. Já no terceiro e quarto quadrantes a função f é crescente.
O domínio e o contradomínio da função cosseno são iguais a R. Ou seja, ela está definida para todos os valores reais: Dom(cos)=R.
Já o conjunto da imagem da função cosseno corresponde ao intervalo real [-1, 1]: -1 cos x 1.
Em relação à simetria, a função cosseno é uma função par: cos(-x) = cos(x).
O gráfico da função cosseno f(x) = cos x é uma curva chamada de cossenoide:
Leia também: Lei dos Cossenos.
Função Tangente
A função tangente é uma função periódica e seu período é π. Ela é expressa por:
f(x) = tg x
No círculo trigonométrico, o sinal da função tangente é positiva quando x pertence ao primeiro e terceiro quadrantes. Já no segundo e quarto quadrantes, o sinal é negativo.
Além disso, a função f definida por f(x) = tg x é sempre crescente em todos os quadrantes do círculo trigonométrico.
O domínio da função tangente é: Dom(tan)={x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z}. Assim, não definimos tg x, se x = π/2 + kπ.
Já o conjunto da imagem da função tangente corresponde a R, ou seja, o conjunto dos números reais.
Em relação à simetria, a função tangente é uma função ímpar: tg(-x) = -tg(x).
O gráfico da função tangente f(x) = tg x é uma curva chamada de tangentoide:
Gráfico da função tangente
Leia mais sobre o tema:
Exercícios de funções trigonométricas
Exercício 1
(UFAM) O menor valor não negativo côngruo ao arco de rad é igual a:
a) π/5 rad b) 7 π/5 rad c) π rad d) 9 π/5 rad
e) 2 π rad
Resposta correta: a) π/5 rad
Arcos côngruos são os que possuem a mesma localização no círculo trigonométrico, em que o maior em módulo, está adiantado ou atrasado um determinado número de voltas completas (360° ou ).
Por exemplo, 30° e 390° são côngruos pois, 30° + 360° = 390°. O mesmo exemplo em radianos fica: .
Dentre todos os côngruos de , queremos o menor que seja positivo. Subtraindo volta por volta, encontramos este valor.
Subtraindo a primeira volta ( ).
Subtraindo a segunda volta.
Se subtrairmos a terceira volta, teremos:
Neste caso, o valor já será negativo. Desta forma, concluímos que o menor valor côngruo ao arco de que seja positivo é .
(Cefet-PR) A função real f(x) = a + b . sen cx tem imagem igual a [-7, 9] e seu período é π/2 rad. Assim, a + b + c vale:
a) 13 b) 9 c) 8 d) – 4
e) 10
Resposta correta: a) 13
Em funções trigonométricas do tipo f(x) = a + bsen cx + d, os termos a, b, c e d alteram características nas funções seno e cosseno.
O termo a translada a função para cima com a > 0 e para baixo se a
O termo b aumenta ou diminui a amplitude vertical. Se b > 1 amplia e, se b
O termo c "distende", amplia o período se c 1.
De -7 a 9 temos que:
9 - (-7) = 16
Portando, a amplitude, que é a distância entre o eixo de simetria da função e o topo é 8. Assim b = 8.
Como o limite superior é 9, a = 1, pois 8 + 1 = 9.
O período se relaciona com c por:
Substituindo c e calculando para p, temos:
Somando os três valores:
a + b + c = 1 + 8 + 4 = 13.
Exercício 3
(UFPI) O período da função f(x) = 5 + sen (3x – 2) é:
a) 3π b) 2π/3 c) 3π – 2 d) π/3 – 2
e) π/5
Resposta correta: b) 2π/3
O período da função é determinado por:
Onde c é o termo que multiplica x, no caso, x = 3.
Portanto:
Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.