No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos qual é o espaço amostral

Problema
(A partir do 2º ano do E. M.- Nível de dificuldade: Médio)

Ana, Beatriz e Cecília estavam estudando juntas e encontraram o seguinte problema formulado pelo professor delas, mestre PC:
Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos ao se lançar dois dados equilibrados e idênticos seja [tex]7[/tex]?
• Ana analisa a situação e diz:
– Há [tex]36[/tex] casos possíveis para os resultados, dos quais [tex]6[/tex] são favoráveis. Logo, a probabilidade de dar a soma [tex]7[/tex] é [tex]\dfrac{1}{6}[/tex].
• Beatriz discorda:
– Ana, como os dados são idênticos, não faz sentido distinguir os resultados [tex](1, 2)[/tex] e [tex](2, 1)[/tex], por exemplo. Logo, há apenas [tex]21[/tex] casos possíveis, dos quais [tex]3[/tex] são favoráveis. A probabilidade de dar soma [tex]7[/tex] é, portanto, [tex]\dfrac{1}{7}[/tex].
• Cecília discorda de ambas:
– Vocês duas estão complicando a situação sem necessidade…
Há [tex]11[/tex] somas possíveis (de [tex]2[/tex] a [tex]12[/tex]). Assim, a probabilidade de dar soma [tex]7[/tex] é [tex]\dfrac{1}{11}[/tex].

Imagem extraída de Freepik

Qual das três está certa?

Adaptado do PAPMEM, 2019.

Solução

► Vamos inicialmente acompanhar o raciocínio da Cecília.

É claro que podemos definir o espaço amostral do experimento de "lançar dois dados equilibrados e idênticos e somar os pontos da duas faces voltadas para cima" como [tex]\Omega_1=\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}[/tex], já que não estamos interessados nos números propriamente ditos que aparecem nas duas faces e sim nas suas somas. O problema é que esse espaço não é equiprovável!
Observe que temos apenas uma maneira de obtermos soma [tex]2[/tex], saindo [tex]1[/tex] nos dois dados, e mais de uma maneira de obtermos soma [tex]5[/tex], saindo "[tex]1[/tex] e [tex]4[/tex]" e "[tex]2[/tex] e [tex]3[/tex]", entre outras possibilidades. Com isso, [tex]P(\{2\})\ne P(\{5\})[/tex] e [tex]\Omega_1[/tex] não é equiprovável. Dessa forma, não podemos utilizar a razão entre "casos favoráveis" e "casos possíveis" e, portanto, Cecília não está certa.

► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Beatriz.

O espaço amostral definido pela Beatriz pode ser obtido a partir das possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima dos dados lançados.

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&1\text{ e }1&1\text{ e }2&1\text{ e }3&1\text{ e }4&1\text{ e }5&1\text{ e }6\\ \hline 2&\xcancel{2\text{ e }1}&2\text{ e }2&2\text{ e }3&2\text{ e }4&2\text{ e }5&2\text{ e }6\\ \hline 3&\xcancel{3\text{ e }1}&\xcancel{3\text{ e }2}&3\text{ e }3&3\text{ e }4&3\text{ e }5&3\text{ e }6\\ \hline 4&\xcancel{4\text{ e }1}&\xcancel{4\text{ e }2}&\xcancel{4\text{ e }3}&4\text{ e }4&4\text{ e }5&4\text{ e }6\\ \hline 5&\xcancel{5\text{ e }1}&\xcancel{5\text{ e }2}&\xcancel{5\text{ e }3}&\xcancel{5\text{ e }4}&5\text{ e }5&5\text{ e }6\\ \hline\ 6&\xcancel{6\text{ e }1}&\xcancel{6\text{ e }2}&\xcancel{6\text{ e }3}&\xcancel{6\text{ e }4}&\xcancel{6\text{ e }5}&6\text{ e }6\\ \hline

\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&1\text{ e }1&1\text{ e }2&1\text{ e }3&1\text{ e }4&1\text{ e }5&1\text{ e }6\\ \hline 2&&2\text{ e }2&2\text{ e }3&2\text{ e }4&2\text{ e }5&2\text{ e }6\\ \hline 3&&&3\text{ e }3&3\text{ e }4&3\text{ e }5&3\text{ e }6\\ \hline 4&&&&4\text{ e }4&4\text{ e }5&4\text{ e }6\\ \hline 5&&&&&5\text{ e }5&5\text{ e }6\\ \hline\ 6&&&&&&6\text{ e }6\\ \hline

\end{array}[/tex]

Temos, de fato, [tex]21[/tex] casos possíveis, mas o espaço amostral da Beatriz não é equiprovável!
Observe que a hipótese de que os dois dados são equilibrados nos garante que o experimento em questão é aleatório, ou seja, nenhuma das faces tem mais chance de sair em um ou em outro dado. Por outro lado, o fato de os dados serem idênticos, ou terem cores diferentes, ou um deles ter uma marquinha em uma de suas faces vai alterar o experimento e as maneiras de obtermos soma [tex]7[/tex]? NÃO! Assim, por exemplo, ▬ temos apenas uma maneira de obtermos [tex] 1 \text{ e }1[/tex]: [tex]1[/tex] no primeiro dado e [tex]1[/tex] no segundo dado;

▬ mas temos duas maneiras de obtermos [tex] 1 \text{ e }2[/tex]: [tex]1[/tex] no primeiro e [tex]2[/tex] no segundo dado e [tex]2[/tex] no primeiro e [tex]1[/tex] no segundo dado. (Pense em um dos dados com uma marquinha; são situações diferentes que ocorrem: [tex]1[/tex] no dado com marquinha e [tex]2[/tex] no outro dado e [tex]2[/tex] no dado com marquinha e [tex]1[/tex] no outro.)

Assim, Beatriz também não está certa.

► Vamos agora acompanhar o raciocínio da Ana:

Podemos definir o espaço amostral do experimento a partir da tabela abaixo, na qual aparecem pares ordenados formados por todas as possíveis combinações de resultados dos números mostrados nas duas faces voltadas para cima.

[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Dados}&1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&(1,1)&(1,2)&(1,3)&(1,4)&(1,5)&(1,6)\\ \hline 2&(2,1)&(2,2)&(2,3)&(2,4)&(2,5)&(2,6)\\ \hline 3&(3,1)&(3,2)&(3,3)&(3,4)&(3,5)&(3,6)\\ \hline 4&(4,1)&(4,2)&(4,3)&(4,4)&(4,5)&(4,6)\\ \hline 5&(5,1)&(5,2)&(5,3)&(5,4)&(5,5)&(5,6)\\ \hline 6&(6,1)&(6,2)&(6,3)&(6,4)&(6,5)&(6,6)\\ \hline

\end{array}[/tex]

Observamos com a tabela que temos [tex]36[/tex] pares ordenados possíveis de números mostrados nas faces voltadas para cima de cada dado e podemos considerar para o experimento o espaço amostral [tex]\Omega_2=\{(1,1);(1,2); (1,3); \ldots ;(6,4); (6,5);(6,6)\}[/tex]. Neste caso, [tex]n\left(\Omega_2\right)=36\,[/tex] e [tex]\;\Omega_2[/tex] é equiprovável, já que os dados são equilibrados. Utilizando a tabela, vemos que as situações favoráveis a obter soma [tex]7[/tex] são: [tex]\qquad (1,6)[/tex], [tex](2,5)[/tex], [tex](3,4)[/tex], [tex](4,3)[/tex], [tex](5,2)[/tex] e [tex](6,1)[/tex]. Consequentemente a probabilidade do evento em questão é: [tex]\qquad \fcolorbox{#6d360f}{#f5d2b8}{$P(\{7\})=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$}\\ \,[/tex]

e, portanto, Ana está correta!

Um applet para ajudar

Você pode utilizar o applet abaixo para se divertir e para ajudar a decidir qual das três colegas está certa!
É só clicar no botão Lançar os dados, quantas vezes você quiser. Faça uma tabelinha e anote as somas obtidas em cada lançamento dos dados. Mas lembre-se de que, para usar a maneira dita frequentista (repetindo o experimento aleatório muitas vezes e anotando a frequência com que o evento ocorre) para se estimar a probabilidade de um evento, o número de experimentações deve ser repetido por muuuuuitas vezes.

De toda forma, Boa Diversão!

OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Se for conveniente, você pode obter um arquivo desta página em PDF. Mas, para abrir esse arquivo, é necessário que você tenha o Adobe Acrobat Reader instalado no dispositivo que você está utilizando. Caso não tenha, é só clicar AQUI para fazer o download. Se o seu dispositivo já tem o Adobe Acrobat Reader instalado, basta copiar o arquivo abaixo e abri-lo sempre que quiser!

No lançamento de dois dados temos o espaço amostral de 36 elementos. Considerando os eventos em que a soma seja quatro, temos: {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}. Probabilidade de sair soma quatro é igual a: 3 em 36, que corresponde a 3/36 = 1/12. Lembrando que cada dado tem 6 números(1,2,3,4,5,6): Os casos totais são 6*6=36. Portanto a chance de a soma ser par é de 9/36 simplificando: 1/4 . Qual a probabilidade de no lançamento simultâneo de dois dados diferentes obter soma igual a 8? Portanto, existem 13,8% de chance de se obter soma 8 ao se lançar dois dados. Olá. Para que a soma seja 8, há asa seguintes possibilidades: 2 e 6 3 e 5 4 e 4 5 e 3 6 e 2 Então são 5. Nesse caso temos o lançamento de dois dados. O espaço amostral será determinado pelo produto entre os eventos decorrentes de cada universo de resultados possíveis. No dado, o espaço amostral é composto de 6 eventos e como são dois dados temos que o espaço amostral terá 6 x 6 elementos, totalizando 36. No lançamento simultâneo de dos dados, a probabilidade de se obter soma 7 é de: A. 1/3. A probabilidade de no lançamento simultâneo de dois dados diferentes obter soma 9 é 1/9. A probabilidade dá soma de os dados dar cinco é de apenas quatro em trinta e seis variáveis, em porcentagem é aproximadamente igual a 11%, isso por que as únicas combinações que dariam como soma cinco são quatro mais um e três mais dois, e elas podem se repetir duas vezes cada. Ou seja, 1/2 ou 50%. Há 11 somas possíveis (de 2 a 12). Assim, a probabilidade de dar soma 7 é 111. Exemplo 1: Calcular a probabilidade de se obter soma 8 no lançamento de dois dados sabendo que o resultado do lançamento foi dois números ímpares. ( / ) = 2 36 9 36 = 2 36 ∙ 36 9 = 2 9 . Espaço amostral é o conjunto estabelecido por todos os possíveis resultados de um experimento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é dado por “cara” ou “coroa”. No lançamento de um dado, o espaço amostral é representado pelas faces enumeradas 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Resposta: 1 para cada 3 tentativas ou 1/3. Explicação passo-a-passo: Ao lançar dois dados, existe a possibilidade de alcançarmos 36 resultados diferentes. Portanto, a probabilidade é: 5/36. No lançamento simultâneo de dos dados, a probabilidade de se obter soma 7 é de: A. 1/3. Dentre os desfavoráveis tem-se \(6 \cdot 6 = 36\) possibilidades. Portanto, a probabilidade da soma de dois dados resultar em \(7\) é de \(\boxed{\dfrac{6}{{36}} = \dfrac{1}{6}}\). A probabilidade é de 1/2,porque existe ter números ímpares (1,3,5) e a outra metade é pares (2,4,6),a probabilidade é de 1/2. Ou seja, temos 1 em 2, isso é, 50% de chance. A probabilidade de obtermos nas faces voltadas para cima a soma 7 e A) 8% P = 16,7%. No lançamento simultâneo de dos dados, a probabilidade de se obter soma 7 é de: A. 1/3.