O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1 usada para representar números reais relacionados a ângulos. Sendo assim, cada ponto dessa circunferência está relacionado a um número real, que, por sua vez, representa um ângulo. Assim, é possível representar também valores de seno e cosseno. O centro desse círculo está sobre o ponto O = (0,0) do plano cartesiano e, como o raio dele é 1, podemos calcular seu comprimento da seguinte maneira: C = 2·π·r C = 2·π·1 C = 2·π A ideia de volta A ideia de volta está presente nos círculos trigonométricos. Como o comprimento da circunferência é 2·π, podemos dizer que uma volta completa nesses círculos tem essa medida. Repare apenas que o ângulo formado por essa volta mede 360°. Dessa maneira, o número 2·π relaciona-se com o ângulo 360°. Assumindo que essas voltas sejam feitas no sentido anti-horário, vamos calcular o valor numérico e o ângulo correspondente à meia-volta: C = 2·π = π Portanto, meia-volta é igual a π. O ângulo gerado por meia-volta é 180°, pois é metade de 360°. Qualquer número real pode ser representado em um círculo trigonométrico. O comum, entretanto, é usar os números que vão de 0 a 2·π e os ângulos referentes a esse intervalo. A figura a seguir mostra a localização dos pontos correspondentes aos ângulos 0°, 90°, 180°, 270° e 360° e os números reais, em função de π, relacionados. Quadrantes Os ângulos presentes na figura acima marcam posições muito importantes no círculo trigonométrico: os chamados quadrantes. Eles são definidos no sentido anti-horário. Na figura a seguir, observe os quatro quadrantes e sua localização no círculo trigonométrico. Em cada um desses quadrantes pode ser encontrado um intervalo de números reais em função de π em que cada valor está relacionado a um ângulo. Veja:
Razão seno e razão cosseno No círculo trigonométrico, é possível encontrar os valores de seno e de cosseno de um ângulo θ qualquer. Para tanto, é necessário construir esse ângulo no círculo trigonométrico, como foi feito na imagem a seguir. Note que, tomando os segmentos BC e AB, paralelos a AD e DC, respectivamente, temos um retângulo. Podemos notar que a medida do lado CD = b1 é igual ao senθ, pois: Senθ = CD = b1 = b1 A medida do segmento AC é 1 porque AC é o raio da circunferência. Essa medida é a altura do retângulo. A medida do segmento AD = a é igual ao cosθ, pois: cosθ = AD = a = a Sendo assim, no círculo trigonométrico, as medidas de seno e cosseno de θ são iguais às medidas do cateto oposto e adjacente a esse ângulo. Podemos calcular agora os valores mais importantes para seno e cosseno. Observe no círculo trigonométrico que:
Nesse sentido, podemos saber os quadrantes nos quais o seno e o cosseno são positivos ou negativos. Observe a figura a seguir:
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Ângulos e Arcos na Circunferência
Exercício 1 – Conversão de Graus para RadianosExpresse em radianos: a) 30° b) 15° c) 120° d) 210° e) 270° f) 300° g) 20° h) 150° i) 315°
Exercício 2 – Conversão de Radianos para GrausExpresse em graus: a) pi/3 rad b) pi/2 rad c) pi/4 rad d) pi/5 rad e) 0,5 rad f) 3pi/4 rad g) 2pi/9 rad
Exercício 3 – Raio da Semicircunferência
Exercício 4 – Comprimento de um Arco
Exercício 5 – Menor Caminho na Semicircunferência
Exercício 6 – Comprimento do Arco em RadianosNa figura, as circunferências C1 e C2 têm o mesmo centro O e raios de medidas R1 e R2, respectivamente, tais que 2R1 = 3R2. Determine: a) as medidas dos arcos AB e CD, em radianos; b) a razão entre os comprimentos de AB e CD, nesta ordem.
Exercício 7 – Comprimento entre os Pontos A e BUm pêndulo de 15 cm de comprimento oscila entre A e B descrevendo um ângulo de 15°. Qual é o comprimento da trajetória descrita pela sua extremidade entre A e B?
Exercício 8 – Volta em PistaUm andarilho caminhou 7536 m, em uma pista circular de 40 m de raio. Quantas voltas ele deu na pista? Considere pi =3,14.
Exercício 9 – Determine a Medida do Raio da Circunferência
Exercício 10 – Determine a Medida em Radianos do Arco ADNa figura, o triângulo ABC é isósceles de base AC e o triângulo CAD está inscrito em uma semicircunferência cujo raio mede 6cm. Considerando o arco AD que não contém o ponto C, determine: a) sua medida, em radianos; b) seu comprimento, em centímetros.
Exercício 11 – Determine a Medida do Raio da Curva
Exercício 12 – Ângulo entre os Ponteiros do RelógioDetermine a medida do menor ângulo formado entre os ponteiros de um relógio ao marcar. a) 3 h b) 8 h 30 min c) 3 h 45 min d) 5 h 40 min e) 9 h 35 min
Exercício 13 – Qual a Distância que a Ponta do Ponteiro Percorre?
Exercício 14 – Determine o Comprimento do Trajeto
Exercício 15 – Marque na Circunferência Trigonométrica os Pontos
Exercício 16 – Agrupe por Quadrante Os Pontos
Exercício 17 – Qual é o Número Real Associado aos Pontos P, Q e R
Exercício 18 – Determine para cada Vértice, o Número Real Associado
Exercício 19 – Quais são os Números Reais Associados aos Vértices
Exercício 20 – Marque na Circunferência Trigonométrica os Pontos
Exercício 21 – Marque na Circunferência Trigonométrica os PontosMarque, na circunferência trigonométrica, os pontos correspondentes aos números pi/6 e 5pi/3. Cite a simetria, se houver.
Exercício 22 – Obtenha os Números Reais Associados aos PontosConsidere o número real 11pi/10. a) Em que quadrante se encontra a imagem P desse número? b) Os pontos simétricos de P em relação ao eixo horizontal, ao eixo vertical e ao centro da circunferência trigonométrica são, respectivamente, os pontos Q, R e S. Obtenha os números reais associados a esses pontos. Razões Trigonométricas na Circunferência
Exercício 1 – Calcule o valor da Expressão
Exercício 2 – Dê o Valor de SenoDê o valor de: a) sen 3pi/2 b) sen pi c) sen 120° d) sen 150° e) sen 225° f) sen 300° g) sen 2pi h) sen 330°
Exercício 3 – Localize os Números na Circunferência Trigonométrica
Exercício 4 – Identifique os Números Reais com mesmo Seno
Exercício 5 – Compare os Pares de Valores de SenoSem consultar a tabela trigonométrica, compare os pares de valores seguintes: a) sen 75° e sen 85° b) sen 100° e sen 170° c) sen 260° e sen 250° d) sen 300° e sen 290°
Exercício 6 – Calcule os Valores de SenoCom auxílio da tabela trigonométrica, calcule: a) sen 130° b) sen 230° c) sen 320° d) sen pi/5 e) sen 3pi/5
Exercício 7 – Determine o sinal do SenoDetermine o sinal de: a) sen 3° b) sen 3 c) sen 5 d) sen 100° e) sen 200°
Exercício 8 – Sinal de SenoSabendo que sen pi/7 = a, responda: a) a maior que 0 ou a menor que 0 b) qual é o valor de sen de 8pi/7 em função de a?
Exercício 9 – Resolva as EquaçõesResolva as equações seguintes, sendo U = [0, 2pi[ a) sen x = 1/2 b) sen x = 0 c) sen x = -1 d) sen x = -V2/2 e) sen x = 2 f) 4 sen² x – 3 = 0 Vídeo do exercício 10 em produção.
Exercício 11 – Calcule o valor de cada expressão seguinte
Exercício 12 – Localize a Imagem dos Números na Circunferência
Exercício 13 – Forneça o Sinal do Cosseno dos Números Reais
Exercício 14 – Calcule os Valores de CossenoCalcule: a) cos 330° b) cos 90° c) cos 120° d) cos pi e) cos 3pi/2 f) cos 5pi/4 g) cos 5pi/3 h) cos 0
Exercício 15 – Compare os valores de CossenoSem usar a tabela trigonométrica, compare os seguintes pares de valores: a) cos 65° e cos 85° b) cos 91° e cos 89° c) cos 50° e cos 340° d) cos 190° e cos 170°
Exercício 16 – Qual é a Soma dos Números Reais
Exercício 17 – Determine o Valor de mSabendo que cos 12pi/7 = m, determine: a) o sinal de m b) o valor de cos 9pi/7 em função de m.
Exercício 18 – Classifique em Verdadeira ou FalsaClassifique como verdadeiras (V) ou Falsas (F) as afirmações seguintes e corrija as falsas. a) cos 90° – cos 30° = cos 60° b) (sen pi/3)² + (cos pi/3)² = 1 c) cos 2 < cos 1 d) sen 100° + cos 100° < 0 e) cos 6 < 0 f) Existe um número real a, tal que cos a = 2
Exercício 19 – Calcule o Perímetro e a Área
Exercício 20 – Área do Triângulo ABC
Exercício 21 – Resolva as Equações TrigonométricasResolva as equações seguintes, considerando U = [0, 2pi[ a) cos x = 0 b) cos x = V2/2 c) cos x = 1 d) cos x = -1/2 e) 3 cos x + 6 = 0 f) 4 cos² x = 3
Exercício 23 – Relação Fundamental da TrigonometriaVerifique a validade da relação fundamental para os seguintes números reais: a) pi/3 b) pi/4 c) 2pi/3
Exercício 24 – Determine o Valor de Seno
Exercício 25 – Relação Fundamental da Trigonometria
Exercício 26 – Determine Cosseno de x
Exercício 27 – Calcule os Valores de Seno e CossenoConsiderando sen 74° = 24/25, calcule: a) cos 74° b) sen 16° c) cos 16° d) sen 254° e) cos 164°
Exercício 28 – Obtenha o Valor de Cosseno
Exercício 29 – Determine os Valores Reais de m
Exercício 30 – Relação Fundamental da Trigonometria
Exercício 31 – Obtenha o Valor da Expressão
Exercício 32 – Calcule o Valor da TangenteCalcule, se existir: a) tg 120° b) tg 180° c) tg 210° d) tg 90° e) tg 240°
Exercício 33 – Calcule o Valor da TangenteCalcule, se existir: a) tg 3pi/2 b) tg 0 c) tg 5pi/3 d) tg 3pi/4 e) tg 11pi/6
Exercício 34 – Calcule o Valor da ExpressãoCalcule o valor da expressão: y = 2 sen x – 4 cos x + tg 2x
Exercício 35 – Dê o Sinal da TangenteDê o sinal de: a) tg 200° b) tg 310° c) tg 4 d) tg 2 e) tg 1
Exercício 36 – Classifique em Verdadeira ou FalsaClassifique como verdadeiras (V) ou falsas (F) as afirmações seguintes: a) tg 100° menor que tg 105° b) tg 20° maior que tg 25°
Exercício 37 – Mostre Geometricamente
Exercício 38 – Obtenha os Valores da TangenteConsiderando tg 22° = 0,4 obtenha os valores de: a) tg 158° b) tg 202° c) tg 338°
Exercício 39 – Determine o Valor de Tangente
Exercício 40 – Qual é o Valor de Tangente de alfa
Exercício 41 – Obtenha o Valor de Seno e Cosseno Funções Trigonométricas
Exercício 2 – Indique as Imagens dos Seguintes Números Reais
Exercício 4 – Determine o Polígono na Circunferência TrigonométricaAs imagens dos números reais pertencentes ao conjunto A são os vértices de um polígono regular na circunferência trigonométrica. a) Como se chama esse polígono? b) Obtenha seu perímetro e sua área.
Exercício 12 – Passeio em Roda GiganteEm uma pequena roda-gigante, a altura (em metros) em que um passageiro se encontra no instante t (em segundos) é dada pela lei: h(t) = 6 + 4 sen ( pi /12 t ) , para t E [0, 270]. a) No início do passeio, a que altura se encontra o passageiro?b) A que altura se encontra o passageiro após 9 s do início? Use 2 = V1,4. c) Qual é a altura mínima que esse passageiro atinge no passeio? d) Qual é o tempo necessário para a roda-gigante dar uma volta completa? e) Quantas voltas completas ocorrem no passeio? |
Marque na circunferência trigonométrica os pontos correspondentes aos numeros pi/3 e 2pi/3
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