Lei dos cossenos Exercícios Resolvidos doc

A Lei dos Cossenos pode ser usada no cálculo da medida de um lado ou de um ângulo, desde que conheçamos as outras medidas.

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O Teorema e as Fórmulas da Lei dos Cossenos
Demonstração da Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos no Triângulo Retângulo
Exercícios Resolvidos
Exercícios de trigonometria

O Teorema e as Fórmulas da Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma generalização do Teorema de Pitágoras. O teorema da Lei dos Cossenos diz que:

“Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados, menos o dobro do produto dessas medidas pelo cosseno do ângulo que eles formam.”

Exemplo:

Seja o triângulo ABC a seguir:

Assim, pela lei dos cossenos temos as seguintes fórmulas:

a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(A)
b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)
c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)

Demonstração da Lei dos Cossenos

Considere o triângulo ABC da figura com altura h em relação ao lado AC do triângulo.

No triângulo retângulo ABD, temos o seguinte:

A base do triângulo, CD, temos que: CD = b – AD ⇔ CD = b – c . cos(A)

Com base nos itens anteriores, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: h² = c² – AD² = a² – CD².

Substituindo: CD = b – c . cos(A) em a² – CD² temos: a² – (b – c . cos(A))².

Substituindo: AD = c . cos A em c² – AD² temos: c² – (c . cos(A))².

Resolvendo, temos:

a² – (b – c . cos(A))² = c² – (c . cos(A))² ⇔ a² – b² + 2 . b . c . cos(A) – c² . cos²(A) = c² – c² . cos²(A) ⇔ a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(A)

Analogamente, para a altura do triângulo em relação aos outros lados, temos:

b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)
c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)

A Lei dos Cossenos no Triângulo Retângulo

A Lei dos Cossenos pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo.

Relembrando, um triângulo retângulo possui um ângulo reto que mede 90°. E vamos aplicar a lei dos cossenos no lado oposto deste ângulo. Assim:

a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(90)

Sabemos que o cosseno que 90° é 0. Dessa forma, a expressão acima fica assim:

a² = b² + c²

Essa expressão é o Teorema de Pitágoras. Então, podemos dizer que para o triângulo retângulo, quando queremos descobrir a medida de um lado, é melhor utilizar o Teorema de Pitágoras.

A Lei dos Cossenos, então, poderia ser utilizada para encontrar a medida de um ângulo quando conhecemos as medidas dos lados.

Exercícios Resolvidos

Seja um triângulo com dois lados medindo 15 cm e 10 cm, onde o ângulo entre esses lados mede 130°. Encontre a medida do terceiro lado.

Resolução:

Vamos utilizar a Lei dos Cossenos para encontrar a medida do terceiro lado desse triângulo.

Considerando as seguintes medidas:

b = 15 cm
c = 10 cm
θ = 130° = cos(130) = -0,6

Substituindo na fórmula seguinte, pois queremos encontrar a medida de a:

a² = b² + c² – 2 . b . c . cos(130)
a² = 15² + 10² – 2 . 15 . 10 . (-0,6)
a² = 225 + 100 + 180
a² = 505
a = √505
a ≈ 22,5

Dessa forma, a medida do lado a é de cerca de 22,5 cm. Então, a é o lado correspondente a hipotenusa.

Seja um triângulo com dois lados medindo 10 cm e 5 cm e o ângulo ABC medindo 30°. Encontre a medida do terceiro lado e a média do ângulo ACB.

Resolução:

Considerando as seguintes medidas:

a = 10 cm
c = 5 cm
ABC = θ = 30° = cos(30) = 0,87

Vamos encontra a medida de b:

b² = a² + c² – 2 . a . c . cos(B)
b² = 10² + 5² – 2 . 10 . 5 . cos(30)
b² = 100 + 25 – 2 . 10 . 5 . 0,87
b² = 125 – 87
b² = 38
b = √38
b ≈ 6,16

Assim, a medida do lado b é de aproximadamente 6,16 cm. Vamos medir o ângulo ACB:

c² = a² + b² – 2 . a . b . cos(C)
5² = 10² + (6,16)² – 2 . 10 . 6,16 . cos(C)
25 = 100 + 37,95 – 123,2 . cos(C)
25 – 100 – 37,95 = – 123,2 . cos(C)
-112,95 = – 123,2 . cos(C) -112,95 / – 123,2 = cos(C)
cos(C) = 0,92

O cosseno de 23° é 0,92, dessa forma o ângulo ACB mede 23°.

Exercícios de trigonometria

Veja os exercícios no link abaixo:

Exercícios de trigonometria resolvidos

LISTA DE APLICAÇÕES DAS LEIS DO SENO E COSSENO - GABARITO1) Um triângulo é tal que AB = 32 cm e AC = 6cm. Calcule a medida do lado BC sabendo que osângulos internos dos vértices B e C são tais que B = 2C.Solução. O lado AC está oposto ao ângulo B. O lado AB está oposto ao ângulo C. Aplicando a leidos senos, temos:senCCsen3226 . O termo sen2C pode ser desenvolvido como: 2senCcosC.Voltando ao problema, temos:.2333436346coscos346)cos2(3263226 CCsenCCsenCsenCCsenLogo C = 30ºe B = 2C = 60º. Esse resultado indica que o terceiro ângulo vale 90º e o triângulo é retângulo. Olado BC oposto ao ângulo reto é hipotenusa e vale:   .3448123632622cma 2) No triângulo da figura, x = 30º, y = 15º e AC mede 215 . Calcule o lado BC.Solução. O ângulo B vale: 180º - (30º + 15º) = 135º.Aplicando a lei dos senos, temos:.1522.21.2152122215º30º135215215BCBCBCsenBCsensenxBCsenB3) Considere um triângulo cujos lados medem 5cm, 6cm e 9cm. Qual a área de um quadrado cujo lado éa mediana relativa ao maior lado do triângulo considerado em centímetros quadrados?Solução. Aplicando a lei dos cossenos, temos:i)90709010636coscos)9)(5(2956 222 yyii)22222225,10)9070(4548125cos)29)(5(2295cmmmym.COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III1aSÉRIE - MATEMÁTICACOORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR4) Calcule o cosseno do ângulo obtuso x do triângulo ABC.Solução. Aplicando a lei dos senos, temos:)(35cos3595941cos321cos.322321.4342134º3032negativoobtusoxxxsenxsenxsenxsenxsenxsen5) Calcule a soma dos lados AC e BC do triângulo.Solução. Aplicando a lei dos senos, temos:i) 622.3.222.3221.2232242123º45º30232BCBCBCsenBCsenii) Aplicando a lei dos cossenos em relação ao lado AB, temos:01836018603618231223).)(6(23612º30cos))((2)23(2222222ACACACACACACACACACBCACBC. Resolvendo:)13(32636236362)18)(1(4108)36(AC . Como o ângulo opostoao lado AC é obtuso, ele é o maior lado. Logo AC = ).13(3  Logo a soma pedida AC + BC será ovalor .2,146)73,2(3)13(36  BCAC6) Calcule o valor de cos x no triângulo da figura.Solução. Aplicando a lei dos cossenos, temos:81coscos)(8cos)(889cos))((22322222222xxRRxRRRxRRRRR7) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY dotrapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Se o ângulo XYZ é odobro do ângulo XWZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é:(A) 7,5.(B) 5,7.(C) 4,7.(D) 4,3.(E) 3,7.8) Dois edifícios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no pé doedifício X (ponto P), mede um ângulo α em relação ao topo do edifício Y (ponto Q). Depois disso, notopo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e QT seja perpendicular aPT, esse observador mede um ângulo β em relação ao ponto Q no edifício Y. Sabendo que a altura doedifício X é 10 m e que 3 tg α = 4 tg β, a altura h do edifício Y, em metros, é:(A)40/3(B)50/4(C) 30.(D) 40.(E) 50.9) Calcule a área do triângulo.Solução. A área do triângulo é dada pelo metade do produtoda base pela altura:2.hbA  . A base “x” pode ser calculadapela lei dos cossenos:)(80)3)(8(024521102549º60cos))(5(25722222positivaxxxxxxxxxComo º605º605senhsenh , a área do triângulo será: 173104340223).5).(8(ASolução. Traçando uma paralela aolado WX, construímos um triânguloisósceles com os dois ângulos iguaisa “b”. Logo, o lado YZ possui amesma medida de 3,7km do outrolado.Solução. Observando os triângulos QPT eQRS, calculamos as tangentes de  e :PThPTQTtg  ePThRSQStg10 . Como3tg = 4tg, temos:mhhhPThPTh40404310.4.3