Antes de partir para o cálculo de raízes não exatas propriamente dito, é necessário relembrar como calcular raízes de um modo geral e o que são raízes exatas e não exatas.
Calculando raízes
Calcular a raiz de um número resume-se a procurar por outro número que, multiplicado por ele mesmo determinada quantidade de vezes, tenha como resultado o número dado.
A representação de raízes é feita da seguinte maneira:
*n, chamado de índice, é o número de fatores da potência que gerou a, chamado de radicando, e L é o resultado, chamado de raiz.
Desse modo, L é um número que foi multiplicado por si mesmo n vezes e o resultado dessa multiplicação foi a.
L·L·L·L...L·L = a
Raízes exatas e não exatas
Dizemos que uma raiz é exata quando L é um número inteiro. São alguns exemplos de raízes exatas:
a) A raiz quadrada de 9, pois 3·3 = 9
b) A raiz cúbica de 8, pois 2·2·2 = 8
c) A raiz quarta de 16, pois 2·2·2·2 = 16
Entretanto, quando não é possível encontrar número inteiro que seja raiz de um número, então, essa raiz não é exata. Todas elas pertencem ao conjunto dos números irracionais e, por isso, todas elas são decimais infinitos. São alguns exemplos de raízes não exatas:
a) Raiz quadrada de 2
b) Raiz cúbica de 3
c) Raiz quarta de 5
Cálculo de raízes não exatas
Caso 1 – Radicando primo
Se o radicando pertence ao conjunto dos números primos, é preciso procurar por valores aproximados para sua raiz. Esse cálculo é feito procurando-se por raízes exatas próximas ao radicando e, posteriormente, aproximando a raiz do radicando tendo como base a raiz exata mais próxima. Por exemplo, calculemos a raiz cúbica de 31:
Na imagem anterior, vimos que a raiz cúbica de 31 tem um resultado decimal entre 3 e 4. Para descobrir uma aproximação de L, é necessário definir quantas casas decimais ele deve ter e procurar pelo número que, elevado ao cubo, mais se aproxime de 31. No exemplo, usaremos uma aproximação com duas casas decimais. Portanto, L = 3,14, pois:
3,143 = 30,959144
Caso 2 – Radicando não primo
Quando o radicando não é primo, decomponha-o em fatores primos e agrupe esses fatores em potências cujo expoente seja igual ao índice do radicando. Isso permitirá o cálculo imediato de todos os fatores cujo expoente é igual ao índice e resumirá os cálculos às raízes dos menores números primos possíveis para aquela raiz.
Exemplo:
Sabendo que a raiz cúbica de 2 é aproximadamente 1,26, calcule a raiz cúbica de 256. Em outras palavras, calcule:
Solução: Primeiramente, obtenha a decomposição em fatores primos de 256:
256|2 128|2 64|2 32|2 16|2 8|2 4|2 2|2
1
256 = 23·23·22
Agora, reagrupe os fatores em potências de expoente 3 dentro do radical. Observe:
Por fim, é possível utilizar uma das propriedades dos radicais para simplificar a raiz acima. Portanto, reescreva a igualdade da seguinte maneira para obter o resultado indicado:
Para encontrar o valor numérico da expressão acima, note que o resultado traz uma raiz cúbica de 2 elevado ao quadrado. Podemos reescrever da seguinte maneira:
Substitua as raízes cúbicas de 2 pelo valor dado no exercício e realize a multiplicação.
4·1,26·1,26 = 6,35
Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo: a) 100 b) 144 c) 400 d) 900 e) 441
2)Calcule:
SOLUÇÃO:
Observação: existem várias maneiras de se calcular a raiz quadrada exata de um número. Na resolução do exercícios vamos usar apenas duas. Uma pelo método da fatoração, e o outra é um atalho prático e mais rápido.1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:
a) 100
22 . 52 depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:
Portanto, a raiz quadrada de 100 é 10.
b) 144
22 . 22 . 32 depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:
Portanto, a raiz quadrada de 144 é 12.
c) 400
Observação:
Vejamos estes mesmos exercícios usando outra técnica:
1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:
a) 100 b) 144 c) 400 d) 900 e) 441
Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz de zero. Sabemos que raiz de zero é zero. logo a raiz de 100 é 10.
Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz do outro 4 que é 2. logo a raiz de 144 é 12.
Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de zero que é 0. logo a raiz de 400 é 20.
Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 9, que nesse caso é o próprio 3. Calcule a raiz de zero que é 0. logo a raiz de 400 é 30.
Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de 1 que é 1. logo a raiz de 400 é 21.
2)Calcule: Vamos usar a segunda técnica para encontra a solução:
Elimine o zero. Calcule a raiz de 23.
Sabemos que 23 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 23 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta. Organizando: baixe o 4 e o 2
42
Mais uma vez baixe o 4 e pergunte para o 2 quanto falta para 10. (Veja que para 10 esta faltando 8)48
A resposta pode ser 42 ou 48. Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.422 = 1764
482 = 2304 ( resposta 48) Outra maneira de fazer a mesma verificação: Baixe 4 e multiplique pelo seu consequente, nesse caso é 5.4 . 5 = 20
Iguale o 23 do radicando com o 20 que você achou e pegunte quem é o maior.23 > 20
Como 48 é maior vai ser a resposta procurada.
Logo a raiz de 42304 é 48.
Elimine o zero. Calcule a raiz de 25 é 5. A raiz quadrada de zero é 0.
Resposta:a raiz quadrada de 2500 é 50.
Elimine o 6. Calcule a raiz de 17.
Sabemos que 17 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 17 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta. Vejamos 2 para 10 esta faltando 8. Sendo assim, a resposta vai ser 42 ou 48. Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.
422 = 1764
482 = 2304A raiz quadrada de 1764 é 42.
4 . 5 =20
17 < 20 quem é o menor ( resposta 42)
Elimine o 6. Calcule a raiz de 39.
Sabemos que 39 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 39 que tenha raiz exata. 36 é o número mais próximo. E a raiz de 36 é 6 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 9 é 3, mas essa pode não ser a resposta. Vejamos 3 para 10 esta faltando 7. Sendo assim, a resposta vai ser 63 ou 67. Para isso é só elevar 63 ao quadrado e 67 ao quadrado e fazer o calculo.
632 = 3964
672 = 4489A raiz quadrada de 3964 é 63.
6 . 7 = 42
39 < 42 ( quem é o menor, resposta 63).
Esta segunda maneira é mais rápida e prática.