A raiz quadrada é um tipo de operação matemática, assim como a adição, multiplicação, entre outras. Ela é a operação inversa da potência de dois, ou seja, calcular a raiz quadrada de um número a é procurar o número elevado a 2 que resulta em a.
Além disso, essa raiz pode ser exata ou não. Quando ela é exata, o número é chamado de quadrado perfeito. Na geometria, ela é útil para determinamos o lado de quadrados.
Leia também: Potenciação e radiciação de frações – como resolver?
Radiciação
Na raiz quadrada, o índice da raiz é 2. Ela é a mais comum entre as radiciações, mas também é possível calcular raiz cúbica, raiz quarta, entre outras raízes.
A radiciação é o inverso da potenciação. Por exemplo, se eu pedir a raiz quinta de um número n, estamos procurando qual é o número que, multiplicado por ele 5 vezes, resulta em n.
Elementos da radiciação
A operação é representada por:
n→ índice
a→ radicando
b→ raiz
Como vamos fazer o estudo da raiz quadrada, o índice será sempre igual a 2. Em uma radiciação, quando o índice é 2, não precisamos escrevê-lo.
Calculando a raiz quadrada
O cálculo da raiz quadrada pode ser feito de cabeça por meio de tabuada quando conhecemos a raiz. Quando o número é muito grande, uma alternativa é realizar a fatoração desse número. Calcular a raiz quadrada de a é encontrar o número b que, quando multiplicamos b .b, resulta em a.
Tipos de raiz quadrada
Uma raiz quadrada pode ser exata ou não. Para que a gente consiga classificar, precisamos levar em consideração se a resposta é um número racional ou um número irracional.
Uma raiz quadrada é exata quando resulta em um número racional, como uma fração, um número inteiro, um número decimal, desde que, ao multiplicar esse número por ele mesmo, encontremos exatamente o radicando.
Quando o número para o qual desejamos calcular a raiz quadrada exata é muito grande, o ideal é recorrer à fatoração desse número. Como estamos calculando a raiz quadrada, vamos agrupar essa fatoração como potências de dois conforme o exemplo a seguir.
Calcule a raiz quadrada de 3600.
Agora que realizamos a fatoração, vamos calcular a raiz de 3600 na forma fatorada.
Podemos perceber que a raiz de um número ao quadrado é igual ao próprio número. Por exemplo, sabemos que 3 ao quadrado é 9 e que a raiz de 9 é igual ao próprio 3. Então podemos simplificar o expoente 2 com o radical.
Na raiz exata, quando a resposta é um número natural, ele é conhecido como quadrado perfeito. Veja todos os quadrados perfeitos de 0 até 100.
Os quadrados perfeitos de 0 até 100 são 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Existem casos em que a raiz não é exata. Quando isso acontece, podemos encontrar a melhor aproximação possível para a raiz desse número, já que a resposta é um número irracional. Para essa aproximação, vamos utilizar os quadrados perfeitos que já conhecemos.
Para encontrar a raiz de 40, vamos compará-la com as raízes exatas que conhecemos. Analisando os quadrados perfeitos, sabemos que 40 está entre 36 e 49.
Agora vamos encontrar o número decimal entre 6 e 7 que está mais próximo de 40.
6,1² = 37,21
6,2²= 38,44
6,3²=39,69
6,4²=40,96 → passou de 40, então vamos usar o número decimal anterior para a aproximação.
Perceba que 6,3² não dá exatamente 40, mas chega próximo, por isso essa raiz quadrada não é exata.
Veja também: Cálculo de raízes – formas de resolver
Interpretação geométrica da raiz quadrada
Alguns livros de história da matemática dizem que a raiz quadrada surgiu para resolver problemas de áreas de quadrado. Suponha que queiramos achar o lado de um terreno que tem formato de um quadrado e que sua área seja igual a 169 m².
Como a área do quadrado é calculada por l², então calcular a raiz de 169, geometricamente, é encontrar o lado do quadrado que possui essa área.
O lado do quadrado é de 13 metros.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Qual é a melhor aproximação para a raiz quadrada de 72?
A) 8,1
B) 8,2
C) 8,3
D) 8,4
E) 8,5
Resolução
Alternativa D.
Sabemos que 72 está entre os quadrados perfeitos 64 e 81, então temos que:
8,1²= 65,61
8,2²= 67,24
8,3²= 68,89
8,4²= 70,56
8,5²= 72,25 → passou, então a melhor aproximação é a anterior, 8,4.
Questão 2 - Qual das raízes abaixo não é exata?
Resolução
Alternativa C.
a) Possui raiz exata igual a 11, pois 11² =121.
b) Possui raiz exata igual a 1,3, pois 1,3² = 1,69.
c) Não possui raiz exata
d) Possui raiz exata, pois o numerador 1²=1 e o denominador 2²=4, logo a raiz dessa fração é igual a ½.
e) Possui raiz exata igual a 1.
1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo: a) 100 b) 144 c) 400 d) 900 e) 441
2)Calcule:
SOLUÇÃO:
Observação: existem várias maneiras de se calcular a raiz quadrada exata de um número. Na resolução do exercícios vamos usar apenas duas. Uma pelo método da fatoração, e o outra é um atalho prático e mais rápido.1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:
a) 100
22 . 52 depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:
Portanto, a raiz quadrada de 100 é 10.
b) 144
22 . 22 . 32 depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:
Portanto, a raiz quadrada de 144 é 12.
c) 400
Observação:
Vejamos estes mesmos exercícios usando outra técnica:
1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:
a) 100 b) 144 c) 400 d) 900 e) 441
Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz de zero. Sabemos que raiz de zero é zero. logo a raiz de 100 é 10.
Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz do outro 4 que é 2. logo a raiz de 144 é 12.
Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de zero que é 0. logo a raiz de 400 é 20.
Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 9, que nesse caso é o próprio 3. Calcule a raiz de zero que é 0. logo a raiz de 400 é 30.
Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de 1 que é 1. logo a raiz de 400 é 21.
2)Calcule: Vamos usar a segunda técnica para encontra a solução:
Elimine o zero. Calcule a raiz de 23.
Sabemos que 23 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 23 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta. Organizando: baixe o 4 e o 2
42
Mais uma vez baixe o 4 e pergunte para o 2 quanto falta para 10. (Veja que para 10 esta faltando 8)48
A resposta pode ser 42 ou 48. Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.422 = 1764
482 = 2304 ( resposta 48) Outra maneira de fazer a mesma verificação: Baixe 4 e multiplique pelo seu consequente, nesse caso é 5.4 . 5 = 20
Iguale o 23 do radicando com o 20 que você achou e pegunte quem é o maior.23 > 20
Como 48 é maior vai ser a resposta procurada.
Logo a raiz de 42304 é 48.
Elimine o zero. Calcule a raiz de 25 é 5. A raiz quadrada de zero é 0.
Resposta:a raiz quadrada de 2500 é 50.
Elimine o 6. Calcule a raiz de 17.
Sabemos que 17 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 17 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta. Vejamos 2 para 10 esta faltando 8. Sendo assim, a resposta vai ser 42 ou 48. Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.
422 = 1764
482 = 2304A raiz quadrada de 1764 é 42.
4 . 5 =20
17 < 20 quem é o menor ( resposta 42)
Elimine o 6. Calcule a raiz de 39.
Sabemos que 39 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 39 que tenha raiz exata. 36 é o número mais próximo. E a raiz de 36 é 6 . Agora falta o último número. Sabemos que a raiz de 9 é 3, mas essa pode não ser a resposta. Vejamos 3 para 10 esta faltando 7. Sendo assim, a resposta vai ser 63 ou 67. Para isso é só elevar 63 ao quadrado e 67 ao quadrado e fazer o calculo.
632 = 3964
672 = 4489A raiz quadrada de 3964 é 63.
6 . 7 = 42
39 < 42 ( quem é o menor, resposta 63).
Esta segunda maneira é mais rápida e prática.