Equação paramétrica da reta que passa pelos pontos

A geometria analítica estuda as formas geométricas do ponto de vista da álgebra, utilizando equações para analisar o comportamento e os elementos dessas figuras. A reta é uma das formas geométricas estudas pela geometria analítica, possuindo três tipos de equações: equação geral, equação reduzida e equação paramétrica. As equações paramétricas são duas equações que representam a mesma reta utilizando uma incógnita t. Essa incógnita recebe o nome de parâmetro e faz a ligação entre as duas equações que representam a mesma reta. As equações x = 5 + 2t e y = 7 + t são as equações paramétricas de uma reta s. Para obter a equação geral dessa reta, basta isolar t em uma das equações e substituir na outra. Vejamos como isso é realizado. As equações paramétricas são: x = 5 + 2t (I) y = 7 + t (II) Isolando t na equação (II), obtemos t = y – 7. Vamos substituir o valor de t na equação (I). x = 5 + 2(y – 7) x = 5 + 2y – 14 x – 2y + 9 = 0 → equação geral da reta s. Exemplo 1. Determine a equação geral da reta de equações paramétricas abaixo. x = 8 – 3t y = 1 – t Solução: Devemos isolar t em uma das equações e substituir na outra. Assim, segue que: x = 8 – 3t (I) y = 1 – t (II) Isolando t na equação (II), obtemos: y – 1 = – t ou t = – y + 1 Substituindo na equação (II), teremos: x = 8 – 3(– y + 1) x = 8 + 3y – 3 x = 5 + 3y x – 3y – 5 = 0 → equação geral da reta Nos dois exemplos feitos obtemos a equação geral da reta através das equações paramétricas. O contrário também pode ser feito, ou seja, utilizar a equação geral da reta para obter a equação paramétrica. Exemplo 2. Determine as equações paramétricas da reta r de equação geral 2x – y -15 = 0.

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Parâmetros
Como calcular as equações paramétricas da reta?
Exercícios resolvidos sobre a equação paramétrica da reta

Solução: Para determinar as equações paramétricas da reta r a partir da equação geral, devemos proceder da seguinte forma:

Podemos fazer:

Assim, as equações paramétricas da reta são:
x = t + 7 e y = 2t – 1

Já sabemos o que temos que encontrar e temos os dados que precisamos para achar as equações, afinal para determinar uma reta basta termos um ponto da reta e o seu vetor diretor!!

Vamos começar pela equação vetorial da reta, que possui esse jeitão:

Pela teoria, sabemos que são as coordenanadas do vetor diretor da reta que foi nos dado e é . Lembrando, que o vetor foi dado na base cartesiana, caso você não lembre:

Sabemos também que o ponto é um ponto que passa pela reta, que no nosso caso vale . Como é um ponto genérico pertencente à reta, então nele não mexemos. Assim, nossa equação vetorial da reta fica:

Pronto!! Primeira equação feita!!!

Para achar o vetor , podemos ter um que vá do ponto até o ponto , então esse vetor é:

As equações paramétricas são formas de representar as retas através de um parâmetro, ou seja, uma variável irá fazer a ligação de duas equações que pertencem a uma mesma reta. As equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as formas paramétricas de representar a reta s determinadas pelo parâmetro t. Para representar essa reta na forma geral através dessas equações paramétricas, é preciso seguir os seguintes passos: Escolher uma das duas equações e isolar o t. E substituir na outra. x = t + 9 x – 9 = t

y = 2t – 1

y = 2 (x – 9) – 1 y = 2x – 18 – 1 y = 2x – 19 2x – y – 19 = 0 é a equação geral da reta s. Da equação geral da reta é possível chegar às suas paramétricas. Considerando a mesma equação geral encontrada acima, veja como chegar às equações paramétricas da reta s. É preciso fazer as seguintes transformações na equação geral da reta, seguindo sempre os passos abaixo: 2x – y – 19 = 0 → 2x – y – 1 – 18 = 0 → →2x – 18 = y + 1 → 2(x – 9) = 1(y + 1) →

→ x – 9 = y + 1
1 2

Para qualquer valor que atribuirmos para x e y teremos um único valor t R, assim:

x – 9 = t → x = t + 9

y + 1 = t → y = 2t - 1

2 Portanto, as equações x = t + 9 e y = 2t – 1 são as equações paramétricas da reta s.

Com as equações paramétricas é possível representar a reta no plano cartesiano, basta escolher valores aleatoriamente para o parâmetro, determinando dois pontos distintos pertencentes à reta.

Publicado por Danielle de Miranda

A equação paramétrica da reta é uma entre as diversas formas de se representar a reta de forma algébrica. Nela há uma equação para o valor de x e uma equação para o valor de y, ambas em função do mesmo parâmetro t. De modo geral, a equação paramétrica da reta é a equação tal que f(t) = x e g(t) = x, em que e .

Leia também: Ponto de interseção entre duas retas

Parâmetros

A equação paramétrica da reta é uma das maneiras de se representar a reta. Utilizamos como parâmetro uma variável t e reescrevemos as variáveis x e y em função do valor de t, logo, de modo geral, a equação paramétrica da reta é esta:

Os pontos pertencentes à reta, P(f(t), g(t)), satisfazem a equação paramétrica. Então, de modo geral, conhecendo a equação paramétrica, temos que r(t) = (). Para encontrar os pontos pertencentes à reta, basta atribuirmos valores para t.

Exemplo:

Conhecendo a equação paramétrica, podemos encontrar os pontos que pertencem a essa reta substituindo o valor de t.

Exemplo 1:

t = 1

Então o ponto A(1, 5) pertence à reta.

Exemplo 2:

t = -1

Então o ponto B(-3, -3) pertence à reta.

Como calcular as equações paramétricas da reta?

Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a equação paramétrica da reta, para isso, buscamos reescrever as duas variáveis em função de t.[1]

Exemplo:

Escreva a equação paramétrica da reta 3x + 4y – 16 = 0.

Resolução:

Primeiro isolaremos a variável x:

Note que o numerador da fração do coeficiente de y é -4. Para que seja possível colocar 4 em evidência, reescreveremos 5 como 4 + 1.

Chamaremos , assim:

Fazendo x = f(t), então .

Agora encontraremos g(t):

Seja g(t) = y, então g(t) = 3t – 3.

Assim a equação paramétrica da reta é:

Podemos encontrar também a equação geral da reta por meio da equação parametrizada da reta. Para isso, isolaremos a variável t em uma das equações e substituir na outra.

Exemplo:

Encontre a equação geral da reta cuja equação paramétrica é:

Sabemos que f(t) = x, então x = 2t – 1. Isolando o t, temos que:

Na outra equação, temos que g(t) = y.

Substituindo t pelo valor isolado na primeira equação:

Ao igualar a zero, encontraremos a equação geral da reta:

Leia também: Equação reduzida da reta — um método que facilita a representação da reta no plano cartesiano