A fração geratriz é a representação fracionária de uma dízima periódica. Essa representação é uma estratégia importante na resolução de problemas sobre operações básicas da Matemática que envolvem dízimas periódicas. Para encontrá-la, podemos utilizar técnicas de equação e também um método prático. Show Leia também: Como resolver operações com fração? O que é uma dízima periódica?Antes de entender o que é uma fração geratriz, é fundamental compreender o que é uma dízima periódica. Existem dois casos possíveis de dízimas periódicas: a dízima periódica simples e a dízima periódica composta. Uma dízima periódica é um número decimal que possui parte decimal infinita e periódica. Fração geratriz da dízima 0,3333…A dízima periódica simples é composta pela parte inteira e parte decimal. A parte decimal é a repetição do seu período, conforme os exemplos a seguir. Exemplos: a) 1,2222… Parte inteira → 1 b) 3,252525… Parte inteira → 3 c) 0,8888… Parte inteira → 0 A dízima periódica composta é uma dízima que possui parte inteira, parte decimal e, em sua parte decimal, uma parte não periódica — conhecida como antiperíodo — e o período. Exemplos: a) 2,0666… Parte inteira → 2 b) 13,518888… Parte inteira → 13 c) 0,109090909… Parte inteira → 0 Leia também: O que são frações equivalentes? O que é fração geratriz?Fração geratriz é a representação fracionária da dízima periódica, seja ela simples, seja composta. Como o nome sugere, a fração geratriz gera a dízima quando dividimos o numerador pelo denominador da representação fracionária. Exemplos: Passo a passo para calcular a fração geratrizVejamos o passo a passo para a dízima periódica simples e para a dízima periódica composta. Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, é necessário seguir alguns passos, sendo eles:
Exemplo 1: Encontre a fração geratriz da dízima 1,444… x = 1,4444… O período é 4 e, como há apenas um algarismo no período, multiplicaremos por 10 dos dois lados: 10x = 1,444… · 10 10x – x = 14,444.. – 0,444… 9x = 14 x = 14/9 Então, a fração geratriz da dízima é: Exemplo 2: Encontre a fração geratriz da dízima periódica 3,252525… x = 3,252525… O período é 25 e, como possui 2 algarismos, multiplicaremos por 100. 100x = 3,252525… · 100 Agora calculando a diferença entre 100x e x: 100x – x = 325,2525… – 3,252525… 99x = 322 x = 322/99 Então, a fração geratriz da dízima é: Quando a dízima periódica é composta, o que muda é que acrescentamos um novo passo na resolução para encontrar a fração geratriz.
Exemplo: Encontre a fração geratriz da dízima 5,0323232… x = 5,0323232… Note que há 1 algarismo no antiperíodo, que é o 0. Multiplicaremos por 10 para que ela vire uma dízima periódica. 10x = 5,0323232… · 10 Agora vamos identificar o período, que é 32. Como há 2 algarismos, multiplicaremos a dízima por 100. 1000x = 5032,323232… Agora calculamos a diferença entre 1000x e 10x: 1000x – 10x = 5032,323232… – 50,323232… 990x = 4982 x=4982/990 Então, a fração geratriz é: Veja também: Como é formado um número misto? Método práticoUtilizamos o método prático para facilitar o processo de encontrar a fração geratriz da dízima periódica. Vamos analisar dois casos diferentes: quando a dízima periódica é simples e quando ela é composta. Em uma dízima periódica simples, o método prático consiste em:
Exemplo: 5,888… 5,888… = 5 + 0,888… Transformando 0,888… em fração, temos numerador igual a 8, pois 8 é o período da fração, e denominador igual a 9, pois há somente 1 algarismo no período, logo: Exemplo: Encontraremos a fração geratriz da dízima 4,1252525… Primeiro identificamos a parte inteira, o antiperíodo e o período da dízima composta: Parte inteira: 4 Antiperíodo: 1 Período: 25 O numerador da dízima composta é a diferença entre o número formado pelos algarismos da parte inteira, antiperíodo e período, com o número formado pela parte inteira e antiperíodo. 4125 – 41 = 4084 No denominador, para cada número no período, acrescentamos um 9 e, na sequência, para cada número na parte não periódica, um 0. O período é 25, então acrescentamos 99; o antiperíodo é 1, então acrescentamos 0, logo o denominador é 990. A fração geratriz da dízima é: Exercícios resolvidosQuestão 1 - Ao realizar a divisão entre dois números naturais, foi encontrada a dízima periódica 1,353535… A fração geratriz dessa dízima é: Resolução Alternativa C. Faremos x = 1,353535… Multiplicando por 100 dos dois lados, temos que: 100 x = 135,3535… Agora calcularemos a diferença entre 100x e x. Questão 2 - Se x = 0,151515… e y = 0,242424…, a divisão y : x é igual a? Resolução Alternativa A. Encontrando as frações geratrizes pelo método prático, temos que: x = 0,151515… A dízima possui período igual a 15, logo seu numerador é 15, e o denominador, 99. Com o mesmo raciocínio para y = 0,242424…, o numerador é 24, e o denominador, 99. Por Raul Rodrigues de Oliveira
Fração geratriz é aquela que quando dividimos seu numerador pelo denominador, o resultado será uma dízima periódica (número decimal periódico). Os números decimais periódicos apresentam um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. Esse algarismo ou algarismos que se repetem representam o período do número. Quando o parte decimal é composta apenas pelo período, a dizima é classificada como simples. Já quando além do período existir, na parte decimal, algarismos que não se repetem, a dízima será composta. Exemplos Cálculo da fração geratrizEncontrar a fração geratriz de uma dízima periódica muitas vezes é necessário para que possamos efetuar cálculos, por exemplo, em expressões numéricas. Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos seguir os seguintes passos:
Saiba mais sobre as Expressões Numéricas. Exemplos1) Encontre a fração geratriz do número 0,8888... SoluçãoPrimeiro vamos escrever a equação do 1º grau, igualando o número a x: x = 0,8888... Observe que o período é composto por um único algarismo (8). Assim sendo, temos que "andar" apenas uma casa para ter o período na frente da vírgula. Assim, multiplicaremos a equação por 10. 10 x = 10 . 0,8888... Agora vamos diminuir as duas equações, ou seja:
Isolando o x, encontramos a fração geratriz:
Veja também: O que é Fração? 2) Transforme o número decimal 0,454545... em fração. SoluçãoIremos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. A única diferença é que agora o período é composto de 2 algarismos (45). Neste caso, teremos que "andar" duas casas, e então iremos multiplicar por 100. x = 0,454545... 100 x = 100 . 0,454545... 100 x = 45,454545... Subtraindo as equações:
Isolando o x, descobrimos que a fração geratriz é igual a . Podemos ainda simplificar esta fração dividindo o numerador e o denominador por 9.Assim, temos:
Quando a dízima periódica for composta, além dos passos indicados para a simples, devemos também multiplicar a primeira equação por um número múltiplo de 10, que a transforme em uma dízima simples. Acompanhe o exemplo abaixo: Qual a fração geratriz de 2,3616161...? Veja também: Tipos de Frações SoluçãoNeste exemplo, a dízima periódica é composta, pois o algarismo 3, que aparece depois da vírgula, não se repete. Escrevendo a equação inicial, temos: x = 2,3616161... Como a dízima é composta, devemos primeiro multiplicar essa equação por 10, pois com isso, passamos o 3 para a frente da vírgula (algarismo que não se repete). 10 x = 23,616161... Agora vamos escrever a outra equação multiplicando ambos os lados da equação inicial por 1000, pois assim, conseguimos passar o período para a frente da vírgula. 1000 x = 2361,616161... Em seguida, faremos a subtração dessas duas equações e isolaremos o x para encontrar a fração geratriz.
Veja também: Números Racionais Método PráticoPara encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos também utilizar um método prático. Quando a dízima for simples, o numerador será igual a parte inteira com o período menos a parte inteira, e no denominador, a quantidades de "noves" igual ao número de algarismo do período. Exemplos1) Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,222... SoluçãoPara encontrar a fração geratriz, vamos usar o método prático conforme esquematizado abaixo: 2) Qual a fração geratriz da dízima periódica 34,131313...? SoluçãoAcompanhe o esquema abaixo para encontrar a fração geratriz. Quando a dízima for composta, o numerador será igual a parte que não se repete com o período, menos a parte que não se repete. ExemploEncontre a fração geratriz da dízima periódica 6,3777... Como a dízima periódica é composta, encontraremos a fração geratriz utilizando o seguinte esquema: Exercícios Resolvidos1) IFRS - 2017 Um menino estava na aula de matemática e a professora propôs uma atividade com fichas. Cada ficha tinha um número e a regra era colocar as fichas em ordem crescente. Observe a resolução do menino e determine V para verdadeiro e F para falso a cada sentença abaixo. I - A resolução do menino, representada nas fichas acima, está correta. II - Os números 1,333 … e – 0,8222... são dízimas periódicas. III - O número decimal 1,333 … não pode ser escrito na forma . IV - Adicionando apenas os valores positivos das fichas, obtemos . Assinale a alternativa correta. a) F – V – F – V b) F – F – F – F c) F – V – V – V d) V – F – V – F e) V – V –V – V
Analisando cada item temos: I - Falso. O aluno deveria ter colocado as fichas em ordem crescente. Contudo, colocou os números negativos em ordem decrescente, pois -0.8222... é maior que -1,23 e -1,55. II - Verdadeiro. Os números que apresentam algarismos que se repetem infinitamente são chamados de dízimas periódicas. No caso dos números indicados, o 3 e o 2 respectivamente, se repetem infinitamente. III - Falso. O número 1,333... representa 1 + 0,333..., a fração geratriz dessa dízima é: Assim, podemos escrever o número decimal na forma de número misto IV - Verdadeiro. Somando os números positivos, temos: Alternativa: a) F – V – F – V 2) Colégio Naval - 2013 Qual é o valor da expressão
a) 0,3 e) -1
Primeiro, vamos transformar o expoente 0,333... em uma fração. Como é uma dízima periódica simples, cujo período apresenta apenas um algarismo, a fração geratriz será igual a . Simplificando a fração e efetuando as demais operações, temos: Alternativa: c) 1 Pratique mais Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica. Para saber mais, veja também: |