Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas simples a seguir

 A fração geratriz é a representação fracionária de uma dízima periódica. Essa representação é uma estratégia importante na resolução de problemas sobre operações básicas da Matemática que envolvem dízimas periódicas. Para encontrá-la, podemos utilizar técnicas de equação e também um método prático.

Leia também: Como resolver operações com fração?

O que é uma dízima periódica?

Antes de entender o que é uma fração geratriz, é fundamental compreender o que é uma dízima periódica. Existem dois casos possíveis de dízimas periódicas: a dízima periódica simples e a dízima periódica composta. Uma dízima periódica é um número decimal que possui parte decimal infinita e periódica.

Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas simples a seguir
Fração geratriz da dízima 0,3333…

A dízima periódica simples é composta pela parte inteira e parte decimal. A parte decimal é a repetição do seu período, conforme os exemplos a seguir.

Exemplos:

a) 1,2222…

Parte inteira → 1
Parte decimal → 0,2222…
Período → 2

b) 3,252525…

Parte inteira → 3
Parte decimal → 0,252525…
Período → 25

c) 0,8888…

Parte inteira → 0
Parte decimal → 0,8888
Período → 8

A dízima periódica composta é uma dízima que possui parte inteira, parte decimal e, em sua parte decimal, uma parte não periódica — conhecida como antiperíodo — e o período.

Exemplos:

a) 2,0666…

Parte inteira → 2
Parte decimal → 0,0666…
Antiperíodo → 0
Período → 6

b) 13,518888…

Parte inteira → 13
Parte decimal → 0,51888…
Antiperíodo → 51
Período → 8

c) 0,109090909…

Parte inteira → 0
Parte decimal → 0,10909090
Antiperíodo → 1
Período → 09

Leia também: O que são frações equivalentes?

O que é fração geratriz?

Fração geratriz é a representação fracionária da dízima periódica, seja ela simples, seja composta. Como o nome sugere, a fração geratriz gera a dízima quando dividimos o numerador pelo denominador da representação fracionária.

Exemplos:

Passo a passo para calcular a fração geratriz

Vejamos o passo a passo para a dízima periódica simples e para a dízima periódica composta.

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica simples, é necessário seguir alguns passos, sendo eles:

  • 1º passo: igualar a dízima periódica a x.

  • 2º passo: de acordo com a quantidade de algarismos do período, multiplicar os dois lados da equação por:

  • 10 → se houver 1 algarismo no período;

  • 100 → se houver 2 algarismos no período;

  • 1000 → se houver 3 algarismos no período; e assim sucessivamente.

  • 3º passo: calcular a diferença entre a equação encontrada no 2º passo e a equação igualada a x no 1º passo, e resolver a equação.

Exemplo 1:

Encontre a fração geratriz da dízima 1,444…

x = 1,4444…

O período é 4 e, como há apenas um algarismo no período, multiplicaremos por 10 dos dois lados:

10x = 1,444… · 10
10x = 14,444…

10x – x = 14,444.. – 0,444… 9x = 14

x = 14/9

Então, a fração geratriz da dízima é:

Exemplo 2:

Encontre a fração geratriz da dízima periódica 3,252525…

x = 3,252525…

O período é 25 e, como possui 2 algarismos, multiplicaremos por 100.

100x = 3,252525… · 100
100x = 325,252525…

Agora calculando a diferença entre 100x e x:

100x – x = 325,2525… – 3,252525… 99x = 322

x = 322/99

Então, a fração geratriz da dízima é:

Quando a dízima periódica é composta, o que muda é que acrescentamos um novo passo na resolução para encontrar a fração geratriz.

  • 1º passo: igualar a dízima periódica a x.

  • 2º passo: transformar a dízima periódica composta em uma dízima periódica simples multiplicando por:

  • 10, se houver 1 algarismo no antiperíodo;

  • 100, se houver 2 algarismos no antiperíodo; e assim sucessivamente.

  • 3º passo: de acordo com a quantidade de algarismos do período, multiplicar os dois lados da equação por:

  • 10 → se houver 1 algarismo no período;

  • 100 → se houver 2 algarismos no período;

  • 1000 → se houver 3 algarismos no período; e assim sucessivamente.

  • 4º passo: calcular a diferença entre a equação encontrada no 3º passo e 2º passo, e resolver a equação.

Exemplo:

Encontre a fração geratriz da dízima 5,0323232…

x = 5,0323232…

Note que há 1 algarismo no antiperíodo, que é o 0. Multiplicaremos por 10 para que ela vire uma dízima periódica.

10x = 5,0323232… · 10
10x = 50,323232…

Agora vamos identificar o período, que é 32. Como há 2 algarismos, multiplicaremos a dízima por 100.

1000x = 5032,323232…

Agora calculamos a diferença entre 1000x e 10x:

1000x – 10x = 5032,323232… – 50,323232… 990x = 4982

x=4982/990

Então, a fração geratriz é:

Veja também: Como é formado um número misto?

Método prático

Utilizamos o método prático para facilitar o processo de encontrar a fração geratriz da dízima periódica. Vamos analisar dois casos diferentes: quando a dízima periódica é simples e quando ela é composta.

Em uma dízima periódica simples, o método prático consiste em:

  • 1º passo: escrever a soma entre a parte inteira e a parte decimal da dízima periódica;

  • 2º passo: transformar a parte decimal em fração, da seguinte maneira: o numerador sempre será o período e o denominador será:

  • 9 → se houver 1 algarismo no período;

  • 99 → se houver 2 algarismos no período;

  • 999 → se houver 3 algarismos no período; e assim sucessivamente.

  • 3º passo: realizar a soma da parte inteira com a fração encontrada.

Exemplo:

5,888…

5,888… = 5 + 0,888…

Transformando 0,888… em fração, temos numerador igual a 8, pois 8 é o período da fração, e denominador igual a 9, pois há somente 1 algarismo no período, logo:

Exemplo:

Encontraremos a fração geratriz da dízima 4,1252525…

Primeiro identificamos a parte inteira, o antiperíodo e o período da dízima composta:

 Parte inteira: 4

Antiperíodo: 1

Período: 25 

O numerador da dízima composta é a diferença entre o número formado pelos algarismos da parte inteira, antiperíodo e período, com o número formado pela parte inteira e antiperíodo.

412541 = 4084

No denominador, para cada número no período, acrescentamos um 9 e, na sequência, para cada número na parte não periódica, um 0.

O período é 25, então acrescentamos 99; o antiperíodo é 1, então acrescentamos 0, logo o denominador é 990.

A fração geratriz da dízima é:

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Ao realizar a divisão entre dois números naturais, foi encontrada a dízima periódica 1,353535… A fração geratriz dessa dízima é:

Resolução

Alternativa C.

Faremos x = 1,353535…

Multiplicando por 100 dos dois lados, temos que:

100 x = 135,3535…

Agora calcularemos a diferença entre 100x e x.

Questão 2 - Se x = 0,151515… e y = 0,242424…, a divisão y : x é igual a?

Resolução

Alternativa A.

Encontrando as frações geratrizes pelo método prático, temos que:

x = 0,151515…

A dízima possui período igual a 15, logo seu numerador é 15, e o denominador, 99.

Com o mesmo raciocínio para y = 0,242424…, o numerador é 24, e o denominador, 99.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Fração geratriz é aquela que quando dividimos seu numerador pelo denominador, o resultado será uma dízima periódica (número decimal periódico).

Os números decimais periódicos apresentam um ou mais algarismos que se repetem infinitamente. Esse algarismo ou algarismos que se repetem representam o período do número.

Quando o parte decimal é composta apenas pelo período, a dizima é classificada como simples. Já quando além do período existir, na parte decimal, algarismos que não se repetem, a dízima será composta.

Exemplos

Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas simples a seguir
Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas simples a seguir

Cálculo da fração geratriz

Encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica muitas vezes é necessário para que possamos efetuar cálculos, por exemplo, em expressões numéricas.

Para descobrir a fração geratriz de uma dízima periódica simples, podemos seguir os seguintes passos:

  • 1º passo: Igualar a dízima periódica a uma incógnita, por exemplo x, de forma a escrever uma equação do 1º grau.
  • 2º passo: Multiplicar ambos os lados da equação por um múltiplo de 10. Para descobrir qual será o múltiplo, devemos identificar quantos casas decimais devemos "andar" para que o período fique antes da vírgula.
  • 3º passo: Diminuir a equação encontrada da equação inicial.
  • 4º passo: Isolar a incógnita.

Saiba mais sobre as Expressões Numéricas.

Exemplos

1) Encontre a fração geratriz do número 0,8888...

Solução

Primeiro vamos escrever a equação do 1º grau, igualando o número a x:

x = 0,8888...

Observe que o período é composto por um único algarismo (8). Assim sendo, temos que "andar" apenas uma casa para ter o período na frente da vírgula. Assim, multiplicaremos a equação por 10.

10 x = 10 . 0,8888...
10 x = 8,888...

Agora vamos diminuir as duas equações, ou seja:

Isolando o x, encontramos a fração geratriz:

Veja também: O que é Fração?

2) Transforme o número decimal 0,454545... em fração.

Solução

Iremos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. A única diferença é que agora o período é composto de 2 algarismos (45). Neste caso, teremos que "andar" duas casas, e então iremos multiplicar por 100.

x = 0,454545... 100 x = 100 . 0,454545...

100 x = 45,454545...

Subtraindo as equações:

Isolando o x, descobrimos que a fração geratriz é igual a

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. Podemos ainda simplificar esta fração dividindo o numerador e o denominador por 9.

Assim, temos:

Quando a dízima periódica for composta, além dos passos indicados para a simples, devemos também multiplicar a primeira equação por um número múltiplo de 10, que a transforme em uma dízima simples.

Acompanhe o exemplo abaixo:

Qual a fração geratriz de 2,3616161...?

Veja também: Tipos de Frações

Solução

Neste exemplo, a dízima periódica é composta, pois o algarismo 3, que aparece depois da vírgula, não se repete.

Escrevendo a equação inicial, temos:

x = 2,3616161...

Como a dízima é composta, devemos primeiro multiplicar essa equação por 10, pois com isso, passamos o 3 para a frente da vírgula (algarismo que não se repete).

10 x = 23,616161...

Agora vamos escrever a outra equação multiplicando ambos os lados da equação inicial por 1000, pois assim, conseguimos passar o período para a frente da vírgula.

1000 x = 2361,616161...

Em seguida, faremos a subtração dessas duas equações e isolaremos o x para encontrar a fração geratriz.

Veja também: Números Racionais

Método Prático

Para encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica, podemos também utilizar um método prático.

Quando a dízima for simples, o numerador será igual a parte inteira com o período menos a parte inteira, e no denominador, a quantidades de "noves" igual ao número de algarismo do período.

Exemplos

1) Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,222...

Solução

Para encontrar a fração geratriz, vamos usar o método prático conforme esquematizado abaixo:

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2) Qual a fração geratriz da dízima periódica 34,131313...?

Solução

Acompanhe o esquema abaixo para encontrar a fração geratriz.

Encontre as frações geratrizes das dízimas periódicas simples a seguir

Quando a dízima for composta, o numerador será igual a parte que não se repete com o período, menos a parte que não se repete.

Exemplo

Encontre a fração geratriz da dízima periódica 6,3777...

Como a dízima periódica é composta, encontraremos a fração geratriz utilizando o seguinte esquema:

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Exercícios Resolvidos

1) IFRS - 2017

Um menino estava na aula de matemática e a professora propôs uma atividade com fichas. Cada ficha tinha um número e a regra era colocar as fichas em ordem crescente. Observe a resolução do menino e determine V para verdadeiro e F para falso a cada sentença abaixo.

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I - A resolução do menino, representada nas fichas acima, está correta. II - Os números 1,333 … e – 0,8222... são dízimas periódicas.

III - O número decimal 1,333 … não pode ser escrito na forma .


IV - Adicionando apenas os valores positivos das fichas, obtemos .

Assinale a alternativa correta.

a) F – V – F – V b) F – F – F – F c) F – V – V – V d) V – F – V – F

e) V – V –V – V

Esconder RespostaVer Resposta

Analisando cada item temos:

I - Falso. O aluno deveria ter colocado as fichas em ordem crescente. Contudo, colocou os números negativos em ordem decrescente, pois -0.8222... é maior que -1,23 e -1,55.

II - Verdadeiro. Os números que apresentam algarismos que se repetem infinitamente são chamados de dízimas periódicas. No caso dos números indicados, o 3 e o 2 respectivamente, se repetem infinitamente.

III - Falso. O número 1,333... representa 1 + 0,333..., a fração geratriz dessa dízima é:

Assim, podemos escrever o número decimal na forma de número misto

IV - Verdadeiro. Somando os números positivos, temos:

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Alternativa: a) F – V – F – V

2) Colégio Naval - 2013

Qual é o valor da expressão

a) 0,3
b) c) 1 d) 0

e) -1

Esconder RespostaVer Resposta

Primeiro, vamos transformar o expoente 0,333... em uma fração. Como é uma dízima periódica simples, cujo período apresenta apenas um algarismo, a fração geratriz será igual a .

Simplificando a fração e efetuando as demais operações, temos:

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Alternativa: c) 1

Pratique mais Exercícios sobre fração geratriz e dízima periódica.

Para saber mais, veja também: