Como fazer comparação entre graficos com variaveis quantitativas

A análise univariada consiste basicamente em, para cada uma das variáveis individualmente:

A partir destes resultados pode-se montar um resumo geral dos dados. Quando se estuda uma variável, o maior intersse do pesquisador é conhecer o comportamento dessa variável, analisando a ocorrência de suas possíveis realizações. Nesse sentido, as distribuições de frequência serão o principal recurso que utilizaremos para resumir uma única variável.

A seguir vamos mostrar como obter tabelas e gráficos simples. Para isto vamos selecionar uma variável de cada tipo para que o leitor possa, por analogia, obter resultados para as demais.

A variável Est.civil é uma qualitativa nominal. Desta forma podemos obter:

1. Uma tabela de frequências (absolutas e/ou relativas)
2. Um gráfico de barras ou de setores
3. A “moda”, i.e. o valor que ocorre com maior frequência

Por ser uma variável qualitativa, para obter a distribuição de frequência desta variável, basta contarmos quantas vezes ocorre cada categoria (ou nível), e organizar em uma tabela.

Esta simples contagem é chamada de frequência absoluta. Podemos também incluir nessa tabela a soma total de observações de todas as categorias.

Com essa informação adicional, podemos agora calcular a frequência relativa, ou seja, a frequência absoluta de cada categoria, dividida pelo total.

Note que, nesse caso, a soma das categorias deve somar 1 (ou 100%)

Com isso, podemos definir alguns tipos de frequência.

Tipos de frequência

• Frequência absoluta (\(f_i\)): número total de elementos em cada classe

• Frequência relativa (\(fr_i\)): razão entre cada valor da frequência absoluta e o total de observações \[ fr_i = \frac{f_i}{\sum f_i} \]

• Frequência percentual (\(fp_i\)): frequência relativa em porcentagem \[ fp_i = fr_i \times 100 \]

Os gráficos de barras e de setores são adequados para representar esta variável. O gráfico de barras é formado pelas categorias no eixo X, e pela frequência no eixo Y. A frequência utilizada pode ser tanto a absoluta quanto a relativa, conforme for o caso.

O gráfico de setores (ou de pizza, ou torta, ou diagrama circular) também pode ser utilizado, mas apresenta uma maior limitação. Independente da frequência utilizada, cada setor terá a mesma área. Além disso, quando existem muitas categorias, e/ou as categorias possuem frequências semelhantes, a diferenciação dos setores é dificultada.

A moda de qualquer variável é definida como o valor mais frequente encontrado na amostra. No caso de variáveis qualitativas, a moda é a categoria que apresenta maior frequência. Nesse exemplo, a moda seria então

Para exemplificar como obter análises para uma variável qualitativa ordinal vamos selecionar a variável Inst, que verificou o grau de instrução dos funcionários.

As tabelas de frequências são obtidas de forma semelhante à mostrada anteriormente. A frequência absoluta é a contagem do número de vezes que cada categoria foi observada. Note que aqui, a ordem tem importância, portanto, a tabela também deve seguir a ordem natural das categorias. Abaixo, mostramos a tabela de frequência absoluta já com o somatório de todas as classes.

As frequências relativas também são obtidas através da divisão da frequência absoluta de cada classe pelo total, ou seja,

O gráfico de setores não é adequado para este tipo de variável por não expressar a ordem dos possíveis valores. Usamos então apenas um gráfico de barras conforme mostrado abaixo

Em alguns casos podemos querer mostrar o gráfico de barras com as barras classificadas da menor para a maior, ou vice-versa, independente da ordem dos níveis. O importante é sempre deixar claro as categorias de cada barra.

Para uma variável ordinal, a moda também é especificada como a categoria de maior frequência, ou seja,

Vamos agora usar a variável Filhos (número de filhos) para ilustrar algumas análises que podem ser feitas com uma quantitativa discreta.

Frequências absolutas e relativas são obtidas como anteriormente. Nesse caso, assumimos que cada valor numérico é uma categoria, e construímos as tabelas de frequência como se a variável fosse qualitativa ordinal. Note, no entanto, que quando existem poucos valores numéricos, essa abordagem é viável. Mas contagens podem assumir muitos valores diferentes, e nesses casos, fazer uma tabela de frequência pode não ajudar a resumir aquela variável. Quando esse for o caso, adotaremos a mesma técnica que usamos para resumir variáveis quantitativas contínuas, como veremos na próxima sessão.

Abaixo, temos a frequência absoluta, com o total de observações

Note que a soma foi 20, ao invés das 36 observações totais da planilha original. Como você deve imaginar ao ter inspecionado a tabela, isso ocorre pelo fato de que existem algumas observações perdidas para essa variável. Mais especificamente, existem 16 observações faltantes, aquelas marcadas com NA. Se for desejável, pode-se incluir a contagem de observações faltantes na tabela de frequência.

Por ora, vamos usar a tabela de frequência sem a contagem destes valores perdidos. Nestes casos, é importante ter cuidado com as frequências relativas, que devem ser calculadas com o total da tabela, e não com o total de observações. Portanto, para esse exemplo, as frequências relativas seriam

Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quantitativas em geral), faz sentido calcularmos também as frequências acumuladas. A frequência acumulada até um certo valor é obtida pela soma das frequências de todos os valores da variável, menores ou iguais ao valor considerado.

Também podemos definir a frequência acumulada relativa, que é o resultado da divisão das frequências acumuladas pelo total de observações, ou seja

Com isso, definimos também as frequências acumuladas.

Tipos de frequência acumulada

• Frequência acumulada (\(F_i\)): soma das frequências simples de uma classe com a frequência simples da classe anterior

• Frequência acumulada relativa (\(Fr_i\)): frequência acumulada da classe dividida pelo total de observações \[ Fr_i = \frac{F_i}{\sum f_i} \]

• Frequência acumulada percentual (\(Fp_i\)): frequência acumulada relativa em porcentagem \[ Fp_i = Fr_i \times 100 \]

O gráfico adequado para frequências absolutas, relativas, ou acumuladas de uma variável discreta é parecido com um gráfico de barras, mas nesse caso, as frequências são indicadas por linhas.

Outra possibilidade seria fazer gráficos de frequências relativa e de frequências relativas acumuladas conforme mostrado nas figuras abaixo.

Para concluir os exemplos para análise univariada vamos considerar a variável quantitativa contínua Salario.

Para se fazer uma tabela de frequências de uma variável contínua, é preciso primeiro agrupar os dados em classes pré-estabelecidas. A escolha dos intervalos de classe geralmente é arbitrária, e a familiaridade do pesquisador com os dados é que lhe indicará quantas e quais classes devem ser utilizadas. No entanto, algumas regras simples podem ser úteis para auxiliar na construção das classes. Uma forma seria calcular a amplitude de classe (\(h\)) através da relação

\[ h = \frac{AT}{k} \]

onde \(AT = \max{\mathbf{x}} - \min{\mathbf{x}}\) é a amplitude total dos dados, e \(k = \sqrt{n}\) é um número estimado de intervalos de classes para um conjunto de dados com \(n\) observações (\(k\) pode ser calculado por outras definições, como a regra de Sturges, por exemplo).

Note que, para facilitar o cálculo da amplitude de classe e posteriormente para montar a tabela de distribuição de frequência, podemos ordenar o vetor de dados brutos. Por exemplo, os valores ordenados (em ordem crescente) de Salario são

Com isso, naturalmente já visualizamos os valores máximo e mínimo, e sabemos que a amplitude total é

\[ AT = 23.3 - 4 = 19.3 \]

Como temos 36 observações, o número estimado de classes é \(k = \sqrt{n} = \sqrt{36} = 6\). Portanto, a amplitude de classe é

\[ h = \frac{AT}{k} = \frac{19.3} {6} = 3.2166667 \]

O valor de amplitude de classe pode ser arredondado para um número inteiro, geralmente para facilitar a interpretação da tabela. Nesse caso, poderíamos arredondar a amplitude para 3 ou para 4 (inteiros mais próximos). Como o valor mínimo é 4 e o máximo está próximo de 24, é natural arredondarmos a amplitude para 4. Após esse arredondamento, vamos denominar a amplitude de classe definitiva por \(\Delta\), apenas para diferenciar do valor calculado em \(h\).

Dessa forma, as classes seriam formadas pela sequência, ou “quebra de classes” definida por

Portanto, ficamos com um total de 5 classes. A última etapa é definir os extremos de classe que serão abertos (permitem incluir aquele valor exato) ou fechados (não incluem aquele valor). Para isso, usaremos a notação a seguir

Nesse exemplo, vamos usar intervalos do tipo fechados à esquerda (abertos à direita), pois o primeiro valor de quebra de classe é o igual ao valor mínimo do conjunto de dados, e dessa forma garantimos que todos os valores pertençam a alguma das classes.

Portanto, as classes completas com suas respectivas frequências absolutas estão na tabela abaixo.

Para completar esta tabela, podemos obter os demais tipos de frequência, conforme visto anteriormente: \(f_r\) (frequência relativa), \(F\) (frequência acumulada), e \(F_r\) (frequência acumulada relativa).

Na sequência vamos mostrar três possíveis gráficos para variáveis contínuas: o de dispersão, o histograma, e o de ramo-e-folhas.

O gráfico de dispersão unidimensional consiste da variável de interesse no eixo Y, plotada com seus respectivos índices (entrada) da tabela de dados. Nesse exemplo, o gráfico seria

Note que, como os dados nesta tabela estão ordenados (em ordem crescente) pelos salários, então vemos esse padrão de cresimento. Mas a ordenação não é um pré-requisito para fazer esse gráfico. A interpretação desse gráfico é limitada pelo fato de que só faz sentido dizer alguma coisa sobre os salários se os índices (nesse caso, os funcionários) tivessem algum tipo de identificação. Por esse motivo, o histograma é uma forma mais eficiente de resumir variáveis contínuas.

O histograma é um gráfico de barras contíguas, com as bases proporcionais aos intervalos de classe, e a área de cada retângulo proporcional à respectiva frequência.

Pode-se usar tanto a frequêcia absoluta (\(f_i\)) quanto a relativa (\(fr_i\)). Indicamos a amplitude do \(i\)-ésimo intervalo por \(\Delta_i\). Para que a área do retângulo respectivo seja proporcional a \(fr_i\), a sua altura deve ser proporcional a \(fr_i/\Delta_i\), que é chamada densidade de frequência, ou simplesmente densidade da \(i\)-ésima classe. Quando todos os intervalos de classe forem iguais a \(\Delta\) (como é o caso nesse exemplo), então a densidade de frequência simplifica para \(fr_i/\Delta\). Com essa convenção, garantimos que a área total do histograma será igual a um, uma propriedade que será importante quando estudarmos probabilidade.

Abaixo, vemos os histogramas com as frequências absolutas, e com a densidade de frequência.

Note que, para construir o gráfico com as densidades, precisamos então de mais uma coluna na tabela, que seria a densidade \(fr_i/\Delta = fr_i/4\).

O que devemos observar em um histograma:

• Amplitude de valores
• Forma da distribuição (assimetria):
  • Positiva
  • Negativa
  • Simétrica
• Tendência central
• Valores extremos

Tanto o histograma quanto os gráficos de barra, dão uma ideia da forma da distribuição de uma variável. Existem várias medidas para resumir uma variável, como veremos mais adiante, mas a forma da distribuição é tão importante quanto estas medidas. Por exemplo, saber que a média de salários da empresa “Milsa” é 11.12 é importante, mas saber como os salários se distribuem entre os funcionários da empresa (como vimos pelo histograma) pode ser mais importante.

Outro método para se resumir uma variável com o objetivo de obter uma ideia da forma de sua distribuição, é através do “gráfico” de ramo-e-folhas. Este é um método bem simples, e foi criado na época em que fazer gráficos no computador era uma tarefa difícil. Mas ainda hoje é uma forma de visualização muito efetiva. Uma vantagem sobre o histograma é que não perdemos (ou perdemos muito pouca) informação sobre os dados em si.

Não existe uma regra fixa para construir o ramo-e-folhas, mas a ideia básica é dividir cada observação em duas partes: a primeira (o ramo) é colocada no lado esquerdo de uma linha vertical, e a segunda (a folha) é colocada à direita. Geralmente, a divisão natural é separar um número contínuo em sua parte inteira à esquerda, e a parte decimal à direita. Dessa forma o ramo-e-folha para a variável Salario está abaixo.

Note que, por simplificação, os valores foram arredondados para uma casa decimal, assim, por exemplo, o segundo valor de 4,56 foi arredondado para 4,6, e representado na primeira linha do gráfico, junto com o primeiro valor que é 4,0.

Algumas informações que podemos obter a partir do ramo-e-folhas:

• Há um destaque para o valor 23,3.
• Os demais valores se concentram mais fortemente entre 4,0 e 14,7.
• Um valor mais ou menos típico para essa variável seria em torno de 9.
• Há uma leve assimetria em direção aos valores grandes.

Existem diversas variações do gráfico de ramo-e-folhas, mas não entraremos em detalhes.

1. Em um questionário aplicado aos estudantes que frequentavam a livraria do campus, foi perguntado como classificariam o serviço prestado. As respostas foram:

1. Como você classificaria estas respostas?
2. Crie uma tabela e um gráfico para representar e resumir esta informação.

1. Considere os dados abaixo

1. Monte uma tabela construindo as classes conforme os critérios apresentados.
2. Calcule as frequências: absoluta, relativa, percentual, acumulada, acumulada relativa, acumulada percentual.
3. Faça um histograma com a densidade das classes.
4. Faça um diagrama de ramo-e-folhas.