Nesta aula, vamos aprender a calcular a raiz quadrada sem calculadora, também é possível fatorar os radicandos mas esse processo para números grandes pode levar um tempo considerável, já o método visto aqui dispensa a fatoração.
Raiz quadrada é um tópico importante da matemática básica mas tem mais!
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Matematicamente, a raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo que, quando multiplicado por si próprio, iguala x. A raiz quadrada de x é simbolizada por √x.
Por exemplo:
porque 4x4 =16 , e √2 = 1.41421... .
As raízes quadradas são importantes para a resolução de equações quadráticas (equações do 2º grau). A extensão da função raiz quadrada a números negativos leva à criação dos números imaginários e ao corpo dos números complexos.
O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra rminúscula, primeira letra de radix (em latim, raiz).
Pode também ser uma operação geométrica - a partir de um segmento de reta dado determinar um outro cujo comprimento seja igual à raíz quadrada do inicial.
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O sistema de numeração é o sistema definido para os diferentes números e a forma como eles podem ser organizados. Existem muitos tipos de sistemas numéricos, mas principalmente 4 tipos são bem conhecidos. Eles são sistemas de números binários, sistemas de números decimais, sistemas de números octais e sistemas de números hexadecimais. O sistema numérico decimal é usado principalmente em matemática, envolve números de 0-9. Existem várias operações feitas nos números, por exemplo, encontrar quadrados e raízes quadradas de números, vamos aprender em detalhes sobre as raízes quadradas dos números,
Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número é um valor que, quando multiplicado por ele mesmo, dá o número original. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é 3, quando 3 é multiplicado por ele mesmo, o número original obtido é 9. O símbolo que denota a raiz quadrada em matemática é √.
Este símbolo (√) é denominado radical e o número dentro do símbolo radical é conhecido como radicando. O número ou o valor presente dentro do símbolo de raiz pode ser um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito. Por exemplo, 4 é um quadrado perfeito, enquanto 3 é um quadrado imperfeito. Portanto, com base na natureza do valor dentro da raiz, a resposta final ou a raiz quadrada pode ser um número natural de um número decimal.
Agora vamos descobrir como calcular a raiz quadrada de diferentes números.
Raízes quadradas sem calculadora
Conforme definido acima, a raiz quadrada de um número é o valor que, quando multiplicado por ele mesmo, fornecerá apenas o número original. Existem três maneiras de encontrar a raiz quadrada sem uma calculadora
Fatoração primária
Este é um método longo, mas simples, para encontrar a raiz quadrada de qualquer número. A fatoração primária envolve encontrar fatores desse número e, em seguida, emparelhar os números comuns em um par de dois. finalmente, tomando as raízes quadradas dos fatores primos. Vamos ver um exemplo disso,
Pergunta: encontre a raiz quadrada de 484
Solução:
484 = 2 × 2 × 11 × 11
Então, √484 = √ (2 × 2 × 11 × 11) = 2 × 11 = 22
Método de adivinhar e verificar
Este método é usado para fornecer o valor aproximado de qualquer número. O método de estimativa economiza tempo, pois fornece uma faixa aproximada de valores entre os quais existe a raiz. é mais eficiente quando o número dentro da raiz é um número imperfeito. Vamos ver um exemplo disso,
Pergunta: encontre a raiz quadrada de 20.
Solução:
Comece o método de adivinhação e verificação observando que, uma vez que √16 = 4 e √25 = 5, então √20 deve estar entre 4 e 5. Como segundo passo, a fim de chegar mais perto da resposta real, vamos pegar um número entre 4 e 5. vamos supor que seja 4,5. Vamos fazer o quadrado de 4,5 que resulta em 20,25, que é maior que 20, portanto, a raiz deve ser menor que 4,5, vamos escolher 4,4, o quadrado de 4,4 é 19,36. assim, a raiz mais aproximada e precisa de 20 é 4,4
Método de divisão longa
É uma maneira muito fácil de obter a raiz quadrada de quadrados imperfeitos. O método de divisão longa é mais preferido em relação aos outros métodos, pois fornece uma resposta precisa. Vamos entender esse algoritmo usando um exemplo,
Pergunta: encontre a raiz quadrada de 627
Solução:
Passo 1 Agrupe os números em pares da direita para a esquerda, deixando um ou dois dígitos à esquerda (aqui é 6).
Passo 2 Pense em um número cujo quadrado é menor que o primeiro número (6), é 2, então, escreva assim -
A etapa 3 é elevar o número 2 ao quadrado e escrever o resultado abaixo de 6 e, em seguida, subtrair como mostrado abaixo,
Etapa 4 Multiplique o quociente por 3 e anote-o entre parênteses com uma linha vazia ao lado, conforme mostrado abaixo,
Etapa 5 Agora descubra o número que, quando multiplicado por quarenta, seria menor que 225. Vamos adivinhar 5. então 45 × 5 = 225, que é menor que 227, então escreva como mostrado abaixo-
Etapa 6 Em seguida, repetindo a etapa 4, multiplique o quociente por 2 e escreva-o entre parênteses com uma linha vazia ao lado, conforme mostrado abaixo,
Passo 7 Repetindo o passo 5, descubra o número que quando multiplicado por quinhentos algo seria menor que 2.000. Vamos supor 5, então 505 × 5 = 2525, que é maior que 2.000, vamos supor 4, então 504 × 3 = 1512 . Então escreva como mostrado abaixo,
A raiz quadrada de 627 com duas casas decimais é 25,03, o que é exato.
Problemas de amostra
Pergunta 1: Encontre a raiz quadrada de 144
Solução:
144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
Portanto, √144 = √ (2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 2 × 2 × 3 = 12
Pergunta 2: Encontre a raiz quadrada de 169
Solução:
169 = 13 × 13
Portanto, √144 = √ (13 × 13) = 13
Pergunta 3: Encontre a raiz quadrada de 6 pelo método Adivinhar e verificar.
Solução:
Comece a supor e verifique o método observando que, uma vez que √9 = 3 e √4 = 2, então √6 deve estar entre 2 e 3. Como segunda etapa, a fim de chegar mais perto da resposta real, vamos pegar um número entre 2 e 3. Vamos supor que seja 2,5. Vamos fazer um quadrado de 2,5 que resulta em 6,25, que é maior que 6. portanto, a raiz deve ser menor que 2,5. Vamos escolher 2,4, o quadrado de 2,4 é 15,76. Assim, a raiz mais aproximada e precisa de 6 é 2,4
A raiz quadrada é uma operação básica e importante da Matemática. Se trata da operação inversa da potenciação. Assim, calcular a raiz quadrada de um número n é descobrir qual número elevado ao quadrado resulta em n. Por exemplo, a raiz quadrada de 9 é igual a 3, pois, 3² é 9. Uma raiz quadrada pode ser exata, gerando um número chamado de quadrado perfeito, ou pode ser não exata.
Leia também: Expressões numéricas — o conjunto de operações fundamentais a serem calculadas
Resumo sobre raiz quadrada
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A raiz quadrada é uma radiciação que possui o índice igual a 2.
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Ela é a operação inversa de uma potência de expoente 2.
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Seus elementos fundamentais são: índice, radical, radicando e raiz.
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A raiz quadrada de um número a é representada por √a.
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Pode ser exata ou não exata.
Videoaula sobre raiz quadrada
A radiciação é uma das operações básicas da Matemática, sendo a operação inversa da potência. Existem vários tipos de raiz, como a raiz cúbica e a raiz quarta, mas a mais utilizada é a raiz quadrada.
Quando calculamos, por exemplo, a raiz quadrada de um número a, o resultado dessa operação será o número que, ao elevarmos ao quadrado, resultará em a. Os outros casos de radiciação seguem o mesmo raciocínio. A raiz cúbica de um número x é o número cujo cubo é igual a x. Dizemos, por exemplo, que a raiz cúbica de 27 é 3, pois 3³ = 27. De forma semelhante, dizemos que a raiz quadrada de 81 é 9, pois 9² = 81.
O que é raiz quadrada?
A raiz quadrada é um caso particular da radiciação, sendo o mais comum deles. Conhecemos como raiz quadrada a radiciação com índice igual a 2. A raiz quadrada é a operação inversa da potência com o expoente 2, pois quando calculamos a raiz quadrada de um número a, estamos procurando qual número ao quadrado é igual a a. Quando o radical não apresenta número no índice, calcula-se a raiz quadrada do radicando.
Exemplos:
√4 = 2, pois 2² = 4
√9 = 3, pois 3² = 9
√16 = 4, pois 4² = 16
√25 = 5, pois 5² = 25
Como calcular a raiz quadrada?
Para calcular a raiz quadrada de um número, geralmente recorremos à tabuada. Entretanto, quando o número é maior que 100, é possível utilizar o processo de fatoração para calcular a raiz quadrada exata.
Ao realizar uma fatoração, agrupamos os fatores de dois em dois, já que é a raiz quadrada exata que estamos buscando. Já quando estamos calculando uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações.
Saiba também: Propriedades dos radicais — simplificam e resolvem raízes de qualquer índice
A raiz quadrada exata ocorre quando o resultado da operação é um número racional. Os exemplos supracitados são casos de raiz quadrada exata. Por exemplo, a √16 é exata porque o seu resultado é 4, que é um número racional. Quando há no radicando um número com raiz quadrada desconhecida, utilizamos fatoração para calcular uma raiz exata.
Exemplo:
Calcule o valor da √324.
Resolução:
Para encontrar a √324, inicialmente fatoraremos esse número:
Dessa forma, calcula-se:
√0 = 0
√1 = 1
√4 = 2
√9 = 3
√16 = 4
√25 = 5
√36 = 6
√49 = 7
√64 = 8
√81 = 9
√100 = 10
Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos.
Em muitos casos, o número pode não possuir uma raiz quadrada exata, ou seja, a solução da raiz quadrada é um número irracional. Para calcular uma raiz quadrada não exata, utilizamos aproximações, ou seja, números que quando elevamos ao quadrado chegam bem próximo do resultado desejado.
Exemplo:
Calcule o valor da √60.
Resolução:
Sabemos que essa raiz não é exata, então, primeiramente, identificaremos qual é o número anterior a 60 que possui raiz exata, que é 49, e também o número posterior a 60 que possui raiz exata, que é 64.
√49 < √60 < √64
Calculando as raízes de 49 e 64:
7 < √60 < 8
Note que 60 está próximo de 64, então a √60 estará próxima de 8. Calcularemos, assim, o quadrado dos números próximos a 8.
7,9² = 62,41
7,8² = 60,84
7,7² = 59,29
Descobrimos que a √60 está entre 7,7 e 7,8.
Portanto, dizemos que a √60 = 7,7 por falta ou que a √60 = 7,8 por excesso.
Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada
Questão 1
(Ethos concursos) A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, aqueles considerados quadrados perfeitos. Sendo assim, calcule a raiz quadrada de 625 e assinale a alternativa CORRETA.
A) 35
B) 24
C) 25
D) 17
E) 49
Resolução:
Alternativa C
Inicialmente, realizaremos a fatoração do número:
Dessa forma, temos:
√625 = √54
√625 = 5²
√625 = 25
Questão 2
Sobre a raiz quadrada, julgue as afirmativas a seguir:
I → É possível calcular a raiz quadrada de número negativo.
II → Os números 0, 1, 4, 9 e 16 são todos quadrados perfeitos menores que 20.
III → A raiz quadrada de 6 é igual a 3.
As afirmativas são, respectivamente:
A) V, V e V.
B) F, F e F.
C) F, F e V.
D) F, V e F.
E) V, F e V.
Resolução:
Alternativa D
I → Falsa
A potência de dois possui resultado somente positivo, logo, não é possível calcular a raiz quadrada de um número negativo.
II → Verdadeira
Os números listados são os únicos que possuem raiz exata menores que 30.
III → Falsa
3² = 9, logo, a raiz quadrada de 9 é 3, e não a de 6.