Como descobrir raiz quadrada de um número com vírgula

A raiz quadrada aproximada é utilizada quando precisamos calcular a raiz quadrada de um número que não possui raiz exata. Quando isso ocorre, é necessário utilizar uma aproximação, porque a raiz quadrada nesse caso forma uma dízima não periódica. Para descobrir uma aproximação da raiz quadrada, primeiramente encontramos entre quais números naturais a raiz quadrada se situa. Posteriormente, podemos analisar o valor da casa decimal, encontrando o valor que mais se aproxima da raiz quadrada desejada.

Leia também: Raiz cúbica — o caso de radiciação em que o 3 é o índice do radical

Videoaula sobre raiz quadrada aproximada

Raiz quadrada aproximada x Raiz quadrada exata

Existem dois casos possíveis para a raiz quadrada de um número natural: o resultado pode ser uma raiz quadrada exata ou não. Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Veja alguns deles a seguir:

• \( \sqrt0=0\)

• \( \sqrt1=1\)

• \( \sqrt4=2\)

• \( \sqrt9=3\)

• \( \sqrt{16}=4\)

• \( \sqrt{25}=5\)

• \( \sqrt{36}=6\)

• \( \sqrt{49}=7\)

• \( \sqrt{64}=8\)

• \( \sqrt{81}=9\)

• \( \sqrt{100}=10\)

• \( \sqrt{121}=11\)

• \( \sqrt{144}=12\)

• \( \sqrt{169}=13\)

• \( \sqrt{196}=14\)

• \(\sqrt{225}=15\)

Quando o número natural não é um quadrado perfeito, a raiz quadrada desse número é uma dízima não periódica, como a raiz de 3 a seguir:

\(\sqrt3=1.73205080756887729362772\ldots\)

Quando a raiz quadrada não é um número exato, é possível encontrar uma aproximação para o valor da raiz.

Quando a raiz quadrada não é exata, podemos calcular a raiz quadrada aproximada. Para isso, é necessário, inicialmente, encontrar entre quais quadrados perfeitos esse número se situa. Posteriormente, encontramos o intervalo em que a raiz quadrada desse número está. Por fim, determinamos a casa decimal por tentativa.

Calcularemos o valor da \(\sqrt{20}\), por aproximação.

Resolução:

De início, encontraremos entre quais quadrados perfeitos o número 20 está:

16 < 20 < 25

Posteriormente, encontraremos entre quais valores está a raiz quadrada de 20:

\(\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\)

\(4<\sqrt{20}<5\)

Sabemos que \(\sqrt{20} \) está entre 4 e 5, logo a parte inteira é 4, que é o menor dentre os valores.

Encontraremos a primeira casa decimal calculando o quadrado dos valores que estão entre 4,1 e 4,9 e descobrindo entre quais desses números a \(\sqrt{20}\) está. Para isso, calcularemos o quadrado de cada um deles até encontrar um número maior que 20:

4,1² = 16,81 4,2² = 17,64 4,3² = 18,49 4,4² = 19,36

4,5² = 20,25

Note que \(\sqrt{20}\) está entre 4,4 e 4,5.

Caso o objetivo seja encontrar uma aproximação com uma casa decimal, dizemos que:

\(\sqrt{20}=4,4\) por falta

\(\sqrt{20}=4,5 \) por excesso.

Podemos também encontrar a próxima casa decimal, agora que encontramos um novo intervalo para \(\sqrt{20}\):

\(4,4<\sqrt{20}<4,5\)

Testando os valores com duas casas decimais, temos que:

4,41² = 19,4481 4,42² = 19,5364 4,43² = 19,6249 4,44² = 19,7136 4,45² = 19,8025 4,46² = 19,8916 4,47² = 19,9809

4,48² = 20,0704

Agora, reduzimos mais ainda o intervalo, pois sabemos que a \(\sqrt{20}\) está entre 4,47 e 4,48.

\(\sqrt{20}\) = 4,47 por falta.

\(\sqrt{20}\) = 4,48 por excesso.

Podemos repetir esse procedimento para quantas casas decimais quisermos.

Calcule \(\sqrt2\).

Resolução:

1 < 2 < 4

Temos que:

\(\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4\)

\(1<\sqrt2<2\)

Sabemos que \(\sqrt2\) é um número entre 1,1 e 1,9:

1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96

1,5² = 2,25

Portanto, \(\sqrt2\) está entre 1,4 e 1,5.

\(\sqrt2\) = 1,4 por falta.

\(\sqrt2\) = 1,5 por excesso.

Calculando a segunda casa decimal:

1,41² = 1,9881
1,42² = 2,0164

\(\sqrt2\) = 1,41 por falta.

\(\sqrt2\) = 1,42 por excesso.

Saiba também: O que é uma função raiz?

Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximada

Questão 1

Calculando o valor aproximado de \(\sqrt{60}\) com duas casas decimais por falta, encontramos:

A) 7,71

B) 7,72

C) 7,73

D) 7,74

E) 7,75

Resolução:

Alternativa D

O número 60 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64:

\(49<60<64\)

\(\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}\)

\(7<\sqrt{60}<8\)

Testando os números entre 7,1 e 7,9:

7,1² = 50,41 7,2² = 51,84 7,3² = 53,29 7,4² = 54,76 7,5² = 56,25 7,6² = 57,76 7,7² = 59,29

7,8² = 60,84

Então, temos que \(7,7<\sqrt{60}<7,8:\):

7,71² = 59,4441 7,72² = 59,5984 7,73² = 59,7529 7,74² = 59,9076

7,75² = 60,0625

A aproximação por falta é, portanto, 7,74.

Questão 2

O número 3,87 é a aproximação por falta de:

A) \(\sqrt{14}\)

B) \(\sqrt{15}\)

C) \(\sqrt{15}\)

D) \(\sqrt{17}\)

Resolução:

Alternativa B

Calculando o quadrado de 3,87:

3,87² = 14,9769

O número decimal 3,87 é a melhor aproximação por falta para \(\sqrt{15}\).

If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

1. 1

   Primeiramente, separe as casas do número em pares. Esse método faz uso de um processo semelhante à divisão longa para calcular a raiz quadrada exata, uma casa de cada vez. Embora não seja crucial, você talvez descubra que o processo fica mais fácil quando é organizado visualmente e o número está dividido em partes. O primeiro a se fazer é desenhar uma linha vertical separando a área de trabalho em duas regiões, fazendo a seguir uma linha horizontal menor perto do topo direito a fim de ter uma seção pequena em cima e uma grande em baixo. Agora, separe as casas do número em pares começando com a vírgula: seguindo essa regra, por exemplo,

   se torna
   . Escreva o valor no topo do espaço esquerdo.
   • Em um exemplo, tente calcular a raiz quadrada de
     . Faça duas linhas para dividir a área de trabalho como no caso anterior e escreva
     na porção superior do espaço esquerdo, e não se preocupe se houver apenas um número solitário à esquerda em vez de um par. Você deverá escrever a resposta (
     ) na região direita superior.

2. 2

   Descubra qual é o maior

   inteiro cujo quadrado é menor ou igual que o número (ou o par de números) à esquerda. Comece com a porção mais à esquerda de seu número, quer se trate de um par ou de um valor isolado. Determine qual é o maior quadrado perfeito que seja menor ou igual a esse número e tire sua raiz quadrada: esse valor é representado por . Anote-o no espaço direito superior e escreva seu quadrado no quadrante direito inferior.
   • No exemplo, a porção mais à esquerda é o número
     . Como se sabe que
     , é possível afirmar que
     , uma vez que se trata do maior valor inteiro cujo quadrado é menor ou igual a . Escreva
     no quadrante superior — essa será a primeira casa do resultado. A seguir, escreva
     (quadrado de ) no quadrante direito inferior — esse valor será importante para o próximo passo.

3. 3

   Subtraia o número recém-calculado do par à esquerda. Assim como acontece na divisão longa, a próxima etapa é subtrair o quadrado encontrado da porção que acaba de ser estudada. Escreva esse valor sob a primeira porção e execute a subtração apropriada, escrevendo a resposta logo abaixo.

   • No exemplo, um será colocado abaixo do a fim de realizar a subtração. A resposta, aqui, será igual a
     .

4. 4

   Desça o próximo par. Mova a próxima porção do número em estudo para baixo e ao lado do valor subtraído que você acaba de encontrar. Multiplique a seguir o valor no topo direito por e escreva a resposta no quadrante direita inferior. Basta agora separar um espaço para o problema de multiplicação no próximo passo:

   .
   • No exemplo, o próximo par à disposição é
     . basta observá-lo próximo ao do quadrante esquerdo inferior. A seguir, multiplique o valor por e obtenha , de modo que
     . Escreva no canto direito inferior, seguido por
     .

5. 5

   Preencha os espaços em branco no quadrante direito. Em cada um deles agora estará o mesmo número inteiro. Ele deve ser o maior que permita ao resultado da multiplicação à direita ser menor ou igual ao número agora presente no lado esquerdo.

   • No exemplo, preencher os espaços em branco com
     dá como resultado:
     . Esse é um valor maior que
     . Dessa forma, é grande demais, mas provavelmente servirá. Escreva nos espaços em branco e prossiga:
     . Confirma-se que ele atende à necessidade porque
     , então escreva o número no quadrante direito superior. Essa é a segunda casa na raiz quadrada de .

6. 6

   Subtraia o valor calculado do número agora à esquerda. Continue subtraindo no mesmo estilo da divisão longa. Tome o resultado do problema de multiplicação no quadrante direito e subtraia-o do valor que está agora no lado esquerdo, colocando a sua resposta logo abaixo.

   • No exemplo,
     será subtraído de , resultando em
     .

7. 7

   Repita o Passo 4. Desça a próxima porção do número cuja raiz quadrada está sendo calculada. Ao chegar na vírgula, escreva uma casa decimal na resposta presente no quadrante direito superior. A seguir, multiplique o valor no topo direito por e escreva a operação em branco (

   ) como previamente.
   • No exemplo, como a vírgula de está sendo alcançada agora, escreva-a logo depois da resposta atual no topo direito. A seguir, desça o par seguinte (
     ) no quadrante esquerdo. Ao se multiplicar por o valor no topo direito (
     ), obtém-se
     — escreva
     no quadrante direito inferior.

8. 8

   Repita os Passos 5 e 6. Encontre o maior valor decimal capaz de preencher os espaços em branco à direita que traga um resultado menor ou igual ao número atualmente à esquerda. A seguir, basta avançar no problema.

   • No exemplo,
     , que é menor ou igual ao número à esquerda (
     ). Observando-se que
     , que é alto demais, você chega à conclusão de que
     é a resposta que está buscando. Escreva-o como a próxima casa decimal no quadrante direito superior e subtraia o resultado da multiplicação do número à esquerda:
     .

9. 9

   Continue a calcular as casas decimais. Desça um par de zeros à esquerda e repita os Passos 4, 5 e 6. Para ainda maior precisão, continue a repetir o processo até encontrar os centésimos, milésimos e assim por diante em sua resposta. Basta continuar nesse ciclo até chegar ao resultado na casa decimal desejada.

1. 1

   Defina o número cuja raiz quadrada será calculada como a área

   de um quadrado. Como essa área tem por fórmula
   , onde
   representa o comprimento de um de seus lados, ao tentar encontrar a raiz quadrada de seu valor você estará tentando calcular o comprimento do quadrado em questão.

2. 2

   Especifique as variáveis relativas a cada casa decimal de sua resposta. Defina a variável

   como sendo a primeira casa decimal de (raiz quadrada que está sendo calculada),
   como sendo a segunda,
   como sendo a terceira e assim por diante.

3. 3

   Atribua variáveis alfabéticas a cada porção do número inicial. Associe a variável

   ao primeiro par de casas decimais em (valor inicial),
   ao segundo par de casas decimais e assim por diante.

4. 4

   Entenda a conexão do presente método com a divisão longa. Essa forma de calcular a raiz quadrada é basicamente um problema de divisão longa que divide o número inicial por sua raiz quadrada, dando sua raiz quadrada como resposta. Assim como nos problemas de divisão longa, nos quais o interesse está direcionado a uma casa decimal por vez, aqui se deve concentrar em duas por vez (que correspondem à próxima casa decimal da raiz quadrada).

5. 5

   Encontre o maior número cujo quadrado seja menor ou igual a . A primeira casa decimal na resposta representa o maior número inteiro cujo quadrado não excede (de modo que

   ). No exemplo,
   e
   , de modo que
   .
   • Em um exemplo, se você quisesse dividir
     por através do método de divisão longa, o primeiro passo seria parecido: você deveria procurar pelo primeiro dígito () e encontrar o maior número inteiro que, ao ser multiplicado por , resultaria em algo menor ou igual a . Basicamente, trata-se de encontrar
     de modo que
     . Nesse caso, seria igual a
     .

6. 6

   Visualize o quadrado cuja área você pretende calcular. A resposta, que é a raiz quadrada do número inicial, será representada por , que descreve o comprimento de um quadrado de área (número inicial). Os valores para , e representam as casas decimais presentes em . Outra forma de colocar essa definição é afirmar que, no caso de uma resposta com duas casas decimais

   , no caso de uma resposta com três casas decimais
   e assim por diante.
   • No exemplo,
     . Lembre-se de que
     representa a resposta com na casa das unidades e na casa das dezenas. Tomando-se
     e
     como exemplo, resultará no número
     . Se
     representa a área do quadrado,
     representa a área do maior quadrado interno,
     representa a área do menor quadrado interno e
     representa a área de cada um dos retângulos que sobraram. Ao executar esse processo longo e complicado, você terá em mãos a área do quadrado inteiro, bastando somar as áreas calculadas a partir dos quadrados e retângulos em seu interior.

7. 7

   Subtraia

   de . Desça um par () de casas decimais de . A expressão
   representa quase a totalidade da área do quadrado, da qual se subtraiu o maior quadrado interno. O resto, por sua vez, pode ser representado pelo
   obtido no Passo 4 (
   no exemplo supracitado). Aqui,
   (área de ambos os retângulos mais a área do quadrado menor).

8. 8

   Procure por , também escrito como

   . No exemplo, você já conhece () e (), sendo agora necessário calcular o valor de . Ele provavelmente não será um valor inteiro e, por isso, é preciso realmente calcular a maior possibilidade inteira que satisfaça à condição
   . Por fim, você restará com
   .

9. 9

   Resolva a operação. Para prosseguir, multiplique por , mude a posição das dezenas (o equivalente a multiplicar o valor por

   ), coloque na posição das unidades e multiplique o resultado por . Em outras palavras, basta realizar a operação
   . Ela é a mesma que se realiza ao se escrever
   (sendo
   ) no quadrante direito inferior presente no Passo 4. Já no Passo 5, por sua vez, você encontrará o maior valor inteiro de que caberá no espaço em branco satisfazendo a condição .

10. 10

    Subtraia a área da área total. Isso dá como resultado a área

    até então desconsiderada (e que será usada para calcular as próximas casas de modo similar).

11. 11

    Para calcular a próxima casa decimal , simplesmente repita o processo. Desça o próximo par (

    ) de a fim de obter
    à esquerda e procure pelo maior valor de que satisfaça à condição
    (equivalente a escrever duas vezes o valor
    com duas casas decimais acompanhado por . Procure pelo maior valor de casa decimal cabível nos espaços em branco que traga um resultado menor ou igual a , assim como antes.