A área do triângulo é a medida da sua superfície e utiliza como unidade de medida qualquer medida de comprimento elevada ao quadrado, por exemplo os metros quadrados, centímetros quadrados etc. De forma geral, a área de um triângulo consiste na metade da multiplicação da base pela altura.
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Como calcular a área de um triângulo?
O triângulo é o polígono mais simples que existe, porém isso não diminui a importância dele, já que pode ser muito explorado em diversas áreas da matemática e também da física. Embora existam algumas fórmulas diferentes para triângulos equiláteros e retângulos, o cálculo da área de um triângulo qualquer necessita basicamente conhecer o valor da base (b) e da altura (h).
A→ área
b → base
h→ altura
Calcule a área do triângulo a seguir:
De modo geral, essa fórmula é eficiente para calcular área de todos os triângulos, como o triângulo escaleno, isósceles e equilátero.
A área de um triângulo retângulo é bastante parecida com a área de um triângulo qualquer, porém, nesse caso específico, a altura coincide com um dos seus lados, logo, a base e a altura coincidem com os catetos (os lados menores) do triângulo retângulo. Apenas no triângulo retângulo é possível calcular o valor da área multiplicando os lados perpendiculares. Sejam a e b os catetos, como na imagem a seguir, é possível calcular a área a partir da multiplicação dos catetos dividido por 2.
Um triângulo retângulo possui lados medindo 6 cm, 8 cm e 10 cm. Qual é a área desse triângulo?
Para calcular a área do triângulo, precisamos identificar os dois catetos. A hipotenusa de um triângulo retângulo é sempre o maior lado, logo ela mede 10 cm. Então, os catetos medem 6 cm e 8 cm.
Veja também: Cone – sólido geométrico formado a partir da rotação de um triângulo
Área do triângulo equilátero
Sabe-se que o triângulo equilátero possui todos os lados congruentes, ou seja, que possuem a mesma medida. O triângulo equilátero é um caso especial de triângulo que possui fórmula específica para o cálculo da área. Em um triângulo equilátero, é possível calcular sua área conhecendo somente o valor de um lado. Isso acontece porque o triângulo equilátero possui todos os seus ângulos medindo 60º.
Encontre a área do triângulo equilátero, cujo lado mede 6 cm.
Exercícios resolvidos
Questão 1 - Um terreno será divido em três partes para a construção de um jardim. A área em verde será preenchida com grama, conforme a imagem a seguir:
Sabendo que a grama custa R$9,00 o metro quadrado e que essa região retangular possui lados medindo 14m e 6m, qual será o valor gasto com a grama?
A) R$ 399,00
B) R$ 400,00
C) R$ 798,00
D)R$ 800,00
Resolução
Alternativa A
1º passo: calcular a área do triângulo, sabendo que a base mede 14 metros e a altura mede 6 metros
2º passo: Calcular o valor gasto
9,50 · 42 = 399,00
Questão 2 - Qual é a área aproximada de um triângulo equilátero que possui lado medindo 5 cm?
A) 41,9 cm²
B) 41,6 cm²
C) 20,9 cm²
D) 20,8 cm²
Resolução
Alternativa D
Realizando o arredondamento, o valor mais próximo da área é 20,8 cm² .
Aprenda como calcular área e perímetro de um triângulo.
Você já percebeu que o cálculo de áreas e perímetros é um conteúdo muito cobrado no Enem e vestibulares? Quer aprender a calcular a área e o perímetro de um triângulo? Mas antes, você sabe o que é área e o que é perímetro?
Antes de começar a calcular usando fórmulas, é muito importante saber o que estamos calculando. Aqui, vamos ensinar o que é área e perímetro, e como calculamos área e perímetro de um triângulo.
Perímetro
Vamos começar com o perímetro, pois só existe área, se houver um perímetro que a limite. Perímetro, portanto, é o contorno de uma determinada área. Parece simples, e é! No entanto, perímetro não é só o que delimita a área, ele também pode ser uma reta, nesse caso, o perímetro será a medida do comprimento dessa reta.
Nas figuras geométricas, o perímetro é a soma da medida de todos os contornos. Vale lembrar que somente as figuras bidimensionais possuem perímetro, ou seja, somente as figuras planas, que possuem altura e largura. Nas figuras tridimensionais, como um cubo ou um paralelepípedo, por exemplo, o que se calcula é o volume, a área total e a diagonal.
Área
A área é a quantidade de espaço contido na superfície dentro de um perímetro. Vamos ver um exemplo:
Imagine uma casa sendo construída. As paredes vão delimitar o espaço de cada cômodo, elas serão o perímetro. Em um quarto, por exemplo, é preciso de espaço suficiente no chão para caber uma cama e um armário. Para haver esse espaço, serão necessárias, no mínimo, quatro paredes, que serão construídas com uma certa distância entre elas. Esse espaço que fica dentro das quatro paredes (perímetro), é chamado de área.
A unidade de medida mais comum utilizada para área é o metro quadrado, mas as áreas podem ser medidas em quilômetro quadrado, acre, alqueire, are, hectare ou centiare, para áreas muito extensas.
Como calcular perímetro de um triângulo
Calcular o perímetro de um triângulo é muito fácil! Basta somar a medida do comprimento de cada lado, e então você terá o perímetro. A única figura geométrica que precisa de uma fórmula para o perímetro é o círculo, que é a multiplicação do diâmetro (medida da linha traçada no centro do circulo) pelo número constante (pi = 3,16 aproximadamente).
No exemplo abaixo, a medida do perímetro será:
P = a + b + c
Como calcular a área de um triângulo
Você já leu que a área é calculada em metros quadrados (ou centímetros), certo? O que isso quer dizer?
Bom, isso significa que o tamanho será calculado com quadrados. Lembra do exemplo da casa? Imagine que, para calcular a área do quarto, fossem dispostos vários quadrados, com 1 metro de cada lado. Então, os quadrados seriam colocados lado a lado dentro do espaço. Podemos imaginar que, no chão do quarto, usamos o total de nove quadrados de 1 metro para preencher todo o espaço. Pronto, essa é a medida da área do quarto, 9 metros quadrados.
Essa técnica seria muito fácil, se não fosse necessário calcular áreas de outras formas geométricas, como um círculo, um hexágono ou, no nosso caso, um triângulo. Se o quarto tivesse um formato triangular, nossos quadrados não caberiam nas pontas, e portanto, não seria possível definir a área.
Dessa forma, para calcular a área de um triângulo, precisamos de fórmulas. Além disso, sabemos que existem mais de um tipo de triângulo, o que vai demandar diferentes técnicas para calcular suas áreas. A fórmula geral para calcular a área de um triângulo é
Sendo:
A = área
h = altura
b = base
Obs: A altura de um triângulo é a medida da linha entre a sua base e o ponto mais alto do triângulo.
Calcular área de triângulo retângulo
Esse é o tipo de triângulo mais fácil para calcular a área. Basta saber a medida de dois dos seus lados, e então aplicar os valores de altura e base na fórmula.
Tendo dois lados de um triângulo retângulo conhecidos, mesmo que nenhum deles seja o cateto que corresponde à sua altura, basta aplicar o Teorema de Pitágoras, e assim, determinar as medidas de todos os lados, conforme o exemplo abaixo:
Considere um triângulo retângulo com cateto medido 4, hipotenusa medindo 5, e o outro cateto medindo b.
Nesse triângulo retângulo, não temos o valor de sua altura, já que sua medida é o valor de b. Para calcular b, basta aplicar o teorema de pitágoras.
a² + b² = c²
4² + b² = 5²
16 + b² = 25
b² = 25 – 16
b² = 9
b = √9
b = 3
Pronto! A altura do triângulo é 3, agora podemos aplicar os valores na fórmula, para calcular a área, assim:
altura = 3
base = 4
A = 3.4/2
A = 12/2
A = 6
Calcular área de triângulo equilátero
O cálculo da área de um triângulo equilátero é bem parecido com o triângulo retângulo, com uma diferença, vamos dividi-lo ao meio para achar a área do triângulo inteiro. Porquê? Veja abaixo:
Se dividimos o triângulo equilátero ao meio, teremos dois triângulos retângulos. Dessa forma, vai ficar mais fácil definir a sua altura, usando o teorema de pitágoras. Se a base desse triângulo possui 4 cm, então a metade dela tem 2 cm. Como é um triângulo equilátero, os outros lados também terão 4 cm, esse será o valor da hipotenusa. Agora, basta calcular o valor do outro cateto, que será a altura:
a² + b² = c²
2² + b² = 44
4 + b² = 16
b² = 16 – 4
b² = 12
b = √12
b = 3,4641
O valor de b é a altura do triângulo que vamos calcular. Agora, podemos utilizar a fórmula da área
altura = 3,4641
base = 4
A = 3,3641.4 /2
A = 13,8564 /2
A = 6,9282
Uma expressão que também pode ser utilizada para calcular a área de um triângulo equilátero é a seguinte:
A = l²/4 . √3
Sendo l, o lado do triângulo (que é o mesmo valor para qualquer lado)
Quer fazer um teste? Substitua o l nessa fórmula pelo lado do triângulo que calculamos (lado = 4), e veja se o resultado bate com o resultado da fórmula anterior.
Triângulo isóceles
Por ter dois lados com a mesma medida, pode ser calculado da mesma forma do triângulo anterior, ou seja, dividindo ao meio para obter dois triângulos retângulos e calculando a sua altura á partir do teorema de Pitágoras. Depois, basta aplicar a fórmula.
Triângulo escaleno
Esse triângulo possui medidas diferentes em todos os seus lados, e possui ângulos diferentes. Existem três formas de calcular a área de um triângulo escaleno, dependendo dos dados que forem fornecidos sobre ele.
- Quando os três lados são conhecidos
Quando os três lados de um triângulo são conhecidos, podemos usar a Fórmula de Heron para descobrir a sua área. Essa fórmula também pode ser utilizada com os outros triângulos, mas é especialmente útil quando o triângulo possui lados diferentes, e não sabemos a sua altura.
Na fórmula de Heron, utilizamos o semiperímetro, ou seja, é a metade do perímetro do triângulo, que já sabemos que é a soma de todos os lados. Na fórmula, teremos:
p = (a + b + c) /2
Determinada a medida do semiperímetro, basta aplicar os valores na fórmula abaixo, para descobrir a área:
A = √p.(p-a).(p-b).(p-c)
Vamos descobrir a área do triângulo escaleno, utilizando essa fórmula.
a = 8
b = 10
c = 12
p =(8 + 10 + 12) /2
p = 30 / 2
p = 15
A = √15.(15-8).(15-10).(15-12)
A = √15.7.5.3
A = √1575
A = 39,68
Vale lembrar que essa fórmula só pode ser utilizada caso todos os lados do triângulo sejam conhecidos.
- Quando dois lados e o ângulo entre eles são conhecidos
Quando temos conhecidas as medidas dos dois lados de um triângulo escaleno, e a medida do ângulo entre esses dois lados, e possível determinar a área utilizando a fórmula
A = a . b . (senα) / 2
Considere o triângulo escaleno:
a = 8
b = 10
ângulo α = 82,8
Aplicando os valores na fórmula:
A = 8 . 10 . (sen α) / 2
O seno de ângulo α é igual a 0,992, logo,
A = 80 . 0,992 / 2
A = 80 . 0,496
A = 39,68
- Quando um dos lados e a altura são conhecidos
Quando a altura do triângulo e um de seus lados é conhecido, conseguimos calcular utilizando a fórmula geral. Nas questões em que se pede o cálculo da área de um triângulo escaleno, geralmente são fornecidos os dados para realizar uma dessas formas de cálculo.
Vamos calcular novamente a área do triângulo acima, mas desta vez, utilizaremos apenas a base e a altura.
Na fórmula geral:
A = (6,613 . 12) /2
A = (79,356) /2
A = 39,68
Viu? A medida da área sempre vai ser a aproximadamente a mesma, sejam quais dados o enunciado da questão apresentar.
Usando essas fórmulas, você vai conseguir calcular a área de qualquer triângulo!
Exercício resolvido do ENEM 2012
O enunciado da questão apresenta o desenho do vitral. Nele, podemos perceber que a parte branca, cujo material custa mais caro, é formado por quatro triângulos congruentes. Para calcular a área branca, podemos calcular a área de um triângulo individualmente, e multiplicar por 4, já que são 4 triângulos.
O valor da base dos triângulos já está na questão, ou seja, os seguimentos AP e QC, tem que 1/4 da medida do lado do quadrado, que é de 1m. Portanto, a base de um dos triângulos é 1/4 de 1 metro: 1/4 . 1 = 0,25
Podemos afirmar que os dois triângulos unidos pelas bases têm a altura de um lado inteiro do quadrado, ou seja, 1m. Mas queremos a altura de apenas um dos triângulos, ou seja, 1/2 = 0,5. Temos aqui os dados de base a altura de um dos triângulos, agora, basta aplicar a fórmula geral para calcular sua área.
A = (h.b)/2
A = (0,5 . 0,25)/2
A = 0,125 / 2
A = 0,0625
Agora que temos o valor da área de um triângulo, basta multiplicar por quatro para obter a área de toda a parte branca do vitral, que corresponde aos triângulos:
0,0625 . 4 = 0,25 m²
O cálculo da área branca está concluído. Para calcular a área escura, basta subtrair o valor da área branca da área total do vitral. Se o vitral possui 1 metro de lado, então ele possui 1m², logo:
1 – 0,25 = 0,75m²
Agora, para calcular os valores, precisamos pegar o custo do vitral branco e do vitral escuro e multiplicar pelas suas áreas. Vamos chamar o vitral branco de Vb e o vitral escuro de Ve.
Vb = 0,25 . 50,00
Vb = 12,50
Ve = 0,75 . 30
Ve = 22,50
Vb + Ve = 35,00
O custo total do vitral é de R$35,00, a opção correta é a letra B