O paralelepípedo é um sólido geométrico com faces paralelas. O paralelepípedo é uma figura tridimensional e é uma das figuras geométricas estudas pela geometria espacial.
Definição
Podemos definir o paralelepípedo como uma figura tridimensional em que suas faces são paralelogramos. Dessa forma, existem três maneiras de defini-lo:
- É um prisma em que sua base é um paralelogramo;
- É um hexaedro em que cada face seja um paralelogramo;
- É um hexaedro com três pares de faces paralelas.
Elementos
Um paralelepípedo é formado pelos seguintes elementos:
- Faces: Possui 6 faces. As faces são os lados formados pela união das arestas.
- Vértices: Possui 8 vértices. Os vértices são pontos onde as arestas se encontram;
- Arestas: Possui 12 arestas. As arestas são segmentos de retas ligadas nos vértices que formam as faces.
Tipos de Paralelepípedo
Podemos classificar os paralelepípedos conforme sua disposição no espaço:
Retos: é quando as faces laterais são perpendiculares, ou seja, as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases. Dessa forma, é chamado também de paralelepípedo retângulo.
Oblíquos: é oblíquo quando não são retos, ou seja, quando as faces laterais não formam ângulos retos e assim elas não são perpendiculares.
Isósceles: é quando todas as faces são quadradas, quando isso acontece chamamos o paralelepípedo de cubo.
Planificação
Se “abrirmos” o paralelepípedo veremos que suas faces são formadas por outas figuras geométricas. Isso é o que se chama de planificação. É importante para entendermos como calcular a área desse hexaedro.
Pela figura percebemos que as bases e as faces são formadas por retângulos, mas dependendo do tipo podem ser formadas por quadrados também.
Como Calcular a Área?
Para calcular a área do paralelepípedo devemos entender que ele é uma figura geométrica espacial. Assim, a área será de uma figura tridimensional.
Área da Base
A base é formada por uma figura geométrica plana. Então, para calcular devemos multiplicar a base pela altura dessa figura. Temos a seguinte fórmula:
Ab = b . h
Onde:
- Ab: é a área;
- b: é a medida da base;
- h: é a medida da altura.
Área Lateral
Para calcular a área lateral, temos que entender que o sólido possui quatro faces laterais formando pares. Então, para calcular a área lateral, usamos a seguinte fórmula:
- Al = ac + bc + ac + bc ⇒
- Al = 2ac + 2bc ⇒
- Al = 2(ac + bc)
Onde:
- Al: é a área;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Área Total
Para calcular a área total, temos que olhar para a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Temos a seguinte fórmula:
At = 2(ab + ac + bc)
Onde:
- At: é a área;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Volume do Paralelepípedo
Para calcular o volume devemos proceder da mesma forma que calculamos o volume do cubo. O volume do cubo é o produto do comprimento, da largura e altura. Então, temos a seguinte fórmula para o volume do paralelepípedo:
V = a . b . c
Onde:
- V: é o volume;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Que é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura.
Exercícios
Acesse os exercícios no link a seguir:
- Exercícios sobre o paralelepípedo
Sendo o volume do paralelepípedo é calculado por:
V = |(u, v, w)| = |v ×w|h, então,
h = |(u, v, w)| |v × w|
lembrando que a base do paralelepípedo (e também do tetraedro) é formada pelos vetores v e w.
Rosimar Gouveia
Professora de Matemática e Física
O Paralelepípedo é uma figura geométrica espacial que faz parte dos sólidos geométricos.
Trata-se de um prisma que possui base e faces em formato de paralelogramos (polígono de quatro lados).
Em outras palavras, o paralelepípedo é um prisma quadrangular com base de paralelogramos.
Faces, Vértices e Arestas do paralelepípedo
O paralelepípedo possui:
- 6 faces (paralelogramos)
- 8 vértices
- 12 arestas
Classificação do paralelepípedo
De acordo com a perpendicularidade de suas arestas em relação a base, os paralelepípedos são classificados em:
Paralelepípedos Oblíquos: possuem arestas laterais oblíquas à base.
Paralelepípedos Reto: possuem arestas laterais perpendiculares à base, ou seja, apresentam ângulos retos (90º) entre cada uma das faces.
Lembre-se que o paralelepípedo é um sólido geométrico, ou seja, uma figura com três dimensões (altura, largura e comprimento).
Todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas. Para exemplificar melhor, confira abaixo a planificação do paralelepípedo reto:
Fórmulas do paralelepípedo
Segue abaixo as principais fórmulas do paralelepípedo, onde a, b e c são as arestas do paralelogramo:
- Área da Base: Ab = a.b
- Área Total: At = 2ab+2bc+2ac
- Volume: V = a.b.c
- Diagonais: D = √a2 + b2 + c2
Fique Atento!
Os paralelepípedos retângulos são prismas retos que apresentam base e face retangulares.
Um caso especial de paralelepípedo retângulo é o cubo, figura geométrica com seis faces quadrangulares. Para calcular a área lateral de um paralelepípedo retângulo utiliza-se a fórmula:
Al = 2(ac+bc)
Donde, a, b e c são arestas da figura.
Para complementar sua pesquisa sobre o tema, veja também:
- Prisma
- Polígonos
- Paralelogramo
- Relação de Euler: vértices, faces e arestas
Exercícios Resolvidos
Segue abaixo dois exercícios de paralelepípedo que caíram no Enem:
1) (Enem 2010) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue
O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza:
a) massa b) volume c) superfície d) capacidade
e) comprimento
Alternativa b, pois o volume do paralelepípedo é dado pela fórmula da área da base x altura: V = a.b.c
2) (Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
a) 5 cm b) 6 cm c) 12 cm d) 24 cm
e) 25 cm
Resolução
Para encontrar o volume da barra de chocolate aplica-se a fórmula do volume do paralelepípedo:
V = a.b.c V = 3.18.4
V = 216 cm3
Já o volume do cubo é calculado pela fórmula: V = a3 donde “a” corresponde as arestas da figura:
Logo,
a3 = 216
a = 3√216
a = 6cm
Resposta: letra B