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Em situações cotidianas, o desafio de calcular a raiz quadrada de um número é enfrentado. E se você não tiver acesso a uma calculadora ou qualquer outro gadget? Isso pode ser feito com papel e lápis antigos em um estilo de divisão longa. Sim, existem várias maneiras de fazer isso. Vamos começar discutindo a raiz quadrada e suas propriedades.
O que é uma raiz quadrada?
Uma raiz quadrada é um valor que dá ao número original aquela multiplicação de si mesmo. por exemplo, 6 multiplicado por ele mesmo dá 36 (ou seja, 6 × 6 = 36), portanto, 6 é a raiz quadrada de 36 ou, em outras palavras, 36 é o número quadrado de 6.
Suponha que a seja a raiz quadrada de b, então ele é representado como,
a = √b ou
a 2 = b
Deixe o quadrado de 2 ser 4, então a raiz quadrada de 4 será 2, ou seja
√4 = 2
A seguir estão as raízes quadradas dos primeiros 50 dígitos como:
Raiz quadrada | Valor | Raiz quadrada | Valor |
√1 | 1 | √26 | 5.0990 |
√2 | 1,4142 | √27 | 5,1962 |
√3 | 1.7321 | √28 | 5,2915 |
√4 | 2 | √29 | 5,3852 |
√5 | 2,2361 | √30 | 5,4772 |
√6 | 2,4495 | 31 | 5,5678 |
√7 | 2.6458 | √32 | 5,6569 |
√8 | 2.8284 | √33 | 5,7446 |
√9 | 3 | √34 | 5,8310 |
√10 | 3,1623 | √35 | 5,9161 |
√11 | 3,3166 | √36 | 6 |
√12 | 3.4641 | √37 | 6.0828 |
√13 | 3,6056 | √38 | 6,1644 |
√14 | 3,7417 | √39 | 6,2450 |
√15 | 3,8730 | √40 | 6,3246 |
√16 | 4 | √41 | 6,4031 |
√17 | 4.1231 | √42 | 6,4807 |
√18 | 4,2426 | √43 | 6,5574 |
√19 | 4.3589 | √44 | 6,6332 |
√20 | 4,4721 | √45 | 6,7082 |
√21 | 4.5826 | √46 | 6,7823 |
√22 | 4,6904 | √47 | 6,8557 |
√23 | 4.7958 | √48 | 6,9282 |
√24 | 4.8990 | √49 | 7 |
√25 | 5 | √50 | 7.0711 |
Portanto, a raiz quadrada do quadrado de um número positivo fornece o número original. No entanto, a raiz quadrada de um número negativo representa um número complexo.
Propriedades da raiz quadrada
- Sempre existe uma raiz quadrada perfeita se um número for um quadrado perfeito.
- A raiz quadrada de 4 é 2 e a raiz quadrada de 16 é 4. Portanto, podemos concluir que a raiz quadrada de um quadrado perfeito par é par.
- A raiz quadrada de 9 é 3 e a raiz quadrada de 81 é 9. Portanto, podemos concluir que a raiz quadrada de um quadrado perfeito ímpar é ímpar.
- Um quadrado perfeito não pode ser negativo e, portanto, a raiz quadrada de um número negativo não é definida.
- Do ponto acima, pode-se concluir que os números que terminam em (com dígito da unidade) 1, 4, 5, 6 ou 9 terão raiz quadrada.
- Se um número de termina com um número par de zeros (0's), então ele pode ter uma raiz quadrada.
- Se o dígito da unidade de um número for 2, 3, 7 ou 8, uma raiz quadrada perfeita não será possível.
- Se um número de terminar com 2, 3, 7 ou 8 (no dígito da unidade), a raiz quadrada perfeita não existe.
- Os dois valores de raiz quadrada podem ser multiplicados. Por exemplo, √5 pode ser multiplicado por √2, então o resultado deve ser √10.
- Duas mesmas raízes quadradas são multiplicadas para dar um número de raiz não quadrada. Quando √5 é multiplicado por √5, obtemos 5 como resultado.
Quadrado perfeito
Um número que pode ser expresso como o produto de dois inteiros idênticos é chamado de quadrado perfeito. Quadrados perfeitos são números que podem ser feitos elevando-se ao quadrado qualquer número inteiro.
por exemplo:
9 é um quadrado perfeito porque é o produto de dois inteiros iguais, 3 × 3 = 9.
No entanto, 10 não é um quadrado perfeito porque não pode ser expresso como o produto de dois inteiros iguais. (5 × 2 = 10).
Assim, um quadrado perfeito é um número inteiro que é o quadrado de um número inteiro; em outras palavras, é o produto de algum inteiro consigo mesmo.
Os números que são quadrados perfeitos são mencionados abaixo, e encontrar as raízes quadradas desses números é fácil. Aqui estão alguns exemplos de raízes quadradas:
- 1 2 = 1
- 2 2 = 4
- 3 2 = 9
- 4 2 = 16
- 5 2 = 25
- 6 2 = 36
- 7 2 = 49
- 8 2 = 64
- 9 2 = 81
- 10 2 = 100
Como resultado, os quadrados completos são 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100.
Métodos para encontrar a raiz quadrada de um número
Para determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito, devemos primeiro determinar se é um quadrado perfeito ou um quadrado imperfeito. Se o número for um quadrado perfeito, como 4, 9, 16, etc., usaremos o processo de fatoração de primos para fatorá-lo. Devemos usar a abordagem de divisão longa para encontrar a raiz se o número for um quadrado incompleto, como 2, 3, 5 e assim por diante.
- Método de subtração repetida
- Método de Fatoração Principal
- Método de Divisão
1. Método de subtração repetida
Sabe-se que a soma dos primeiros n números naturais ímpares é n 2 . Faremos isso para calcular a raiz quadrada de um inteiro subtraindo-o várias vezes. Vamos considerar um exemplo e ver como essa abordagem funciona. Digamos que você deva encontrar a raiz quadrada de 25, que é √25. As etapas são as seguintes:
Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de subtração repetida para determinar as raízes quadradas.
Exemplo 1: Determine a raiz quadrada de 25 usando o método de subtração repetida.
Solução:
Uma vez que 25 é um número ímpar. Portanto, as etapas para encontrar a raiz quadrada de 25 são:
- 25 - 1 = 24
- 24 - 3 = 21
- 21 - 5 = 16
- 16- 7 = 9
- 9 - 9 = 0
Aqui, são necessários cinco passos para obter o 0.
Portanto, a raiz quadrada de 25 é 5 .
Exemplo 2: Determine a raiz quadrada de 16 usando o método de subtração repetida.
Solução:
Uma vez que 16 é um número par. Portanto, as etapas para encontrar a raiz quadrada de 16 são:
- 16 - 4 = 12
- 12 - 4 = 8
- 8 - 4 = 4
Aqui, são necessários quatro passos para obter o 0.
Portanto, a raiz quadrada de 16 é 4 .
Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 49 usando o método de subtração repetida.
Solução:
Já que 49 é um número ímpar. Portanto, as etapas para encontrar a raiz quadrada de 49 são:
- 49 - 1 = 48
- 48 - 3 = 45
- 45 - 5 = 40
- 40 - 7 = 33
- 33 - 9 = 24
- 24 - 11 = 13
- 13 -13 = 0
Aqui, são necessários sete passos para obter o 0.
Portanto, a raiz quadrada de 49 é 7 .
2. Método de Fatoração Principal
O método de fatoração de primos envolve a expressão de números em função de seus fatores primos. A raiz quadrada do número é dada pelo produto de um elemento de cada par de fatores primos iguais. Essa abordagem também pode ser usada para determinar se um determinado número é um quadrado perfeito ou não. Este método, entretanto, não pode ser usado para encontrar a raiz quadrada de números decimais quadrados não perfeitos.
por exemplo: Os fatores primos de 126 serão 2, 3 e 7 como 2 × 3 × 3 × 7 = 126 e 2, 3, 7 são números primos.
- 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2 2 × 2 2 = √16 = 4
- 25 = 5 × 5 = 5 2 = √25 = 5
- 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = √64 = 8
3. Método de Divisão
Quando os inteiros são suficientemente grandes, é fácil obter a raiz quadrada de um quadrado perfeito utilizando a abordagem de divisão longa, porque obter suas raízes quadradas por meio da fatoração se torna demorado e complicado. Para superar esse problema, um novo método para encontrar a raiz quadrada é desenvolvido. Este método usa basicamente a operação de divisão por um divisor cujo quadrado é menor ou igual ao dividendo.
A seguir estão as etapas para o método de divisão:
Etapa 1: pegue o número cuja raiz quadrada deve ser encontrada. Coloque uma barra sobre cada par do dígito do número, começando daquele no lugar da unidade (lado direito).
Etapa 2: vamos dividir o número mais à esquerda pelo maior número cujo quadrado é menor ou igual ao número sob a barra mais à esquerda. Considere este número como o divisor e o quociente. O número sob a barra mais à esquerda é considerado o dividendo.
Etapa 3: divida e obtenha o número. Abaixe o número sob a próxima barra à direita do restante.
Etapa 4: Dobre o divisor (ou some o divisor a ele mesmo). À direita desse divisor, encontre um número adequado que, junto com o divisor, forma um novo divisor para o novo dividendo. O novo número no quociente terá o mesmo número selecionado no divisor. A condição é a mesma que ser menor ou igual ao dividendo.
Etapa 5: continue este processo até chegarmos a zero como o restante. O quociente assim obtido será a raiz quadrada do número.
Vamos considerar os exemplos a seguir para entender o método de divisão para determinar as raízes quadradas.
Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 144 usando o método de divisão.
Solução:
As etapas para determinar a raiz quadrada de 144 são:
Etapa 1: comece a divisão do lado esquerdo. Aqui, 1 é o número cujo quadrado é 1.
Etapa 2: colocando-o no divisor e no quociente e, em seguida, dobrando-o resultará em,
Etapa 3: agora é necessário encontrar um número para os espaços em branco no divisor e no quociente. Deixe esse número ser x.
Etapa 4: Portanto, verifique quando 2x multiplicar por x fornece um número menor ou igual a 44. Pegue x = 1, 2, 3 e assim por diante e verifique.
Nesse caso,
Portanto, escolhemos x = 2 como o novo dígito a ser colocado no divisor e no quociente.
O restante aqui é 0 e, portanto, 12 é a raiz quadrada de 144.
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 196 usando o método de divisão.
Solução:
As etapas para determinar a raiz quadrada de 196 são:
Etapa 1: comece a divisão do lado esquerdo. Aqui, 1 é o número cujo quadrado é 1.
Passo 2: Colocando no divisor e no quociente e, em seguida, dobrando o resultado.
Etapa 3: agora precisamos encontrar um número para os espaços em branco no divisor e no quociente. Deixe esse número ser x.
Etapa 4: precisamos verificar quando 2x multiplicado por x dá um número menor ou igual a 96. Pegue x = 1, 2, 3 e assim por diante e verifique.
Nesse caso,
- 21 × 1 = 21
- 22 × 2 = 44
- 23 × 3 = 69
- 24 × 4 = 96
Portanto, escolha x = 4 como o novo dígito a ser colocado no divisor e no quociente.
O restante aqui é 0 e, portanto, 14 é a raiz quadrada de 196.
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 225 usando o método de divisão.
Solução:
As etapas para determinar a raiz quadrada de 225 são:
Etapa 1: comece a divisão do lado esquerdo. Aqui, 1 é o número cujo quadrado é 1.
Passo 2: Colocando no divisor e no quociente e, em seguida, dobrando o resultado.
Etapa 3: agora precisamos encontrar um número para os espaços em branco no divisor e no quociente. Deixe esse número ser x.
Passo 4: Precisamos verificar quando 2x multiplica por x dá um número que é menor ou igual a 125. Pegue x = 1, 2, 3 e assim por diante e verifique.
Nesse caso,
- 21 × 1 = 21
- 22 × 2 = 44
- 23 × 3 = 69
- 24 × 4 = 96
- 25 × 5 = 125
Portanto, escolhemos x = 5 como o novo dígito a ser colocado no divisor e no quociente.
O restante aqui é 0 e, portanto, 15 é a raiz quadrada de 225.
4. Raízes quadradas de números complexos
Para calcular a raiz quadrada de um número complexo, vamos supor que a raiz seja ea + ib. Em seguida, compare-o com o número original para obter os valores de aeb, resultando na raiz quadrada.
Seja a + ib um número complexo, portanto, para encontrar a raiz quadrada de a + ib, a seguinte fórmula pode ser usada
Vamos considerar os exemplos a seguir para entender a determinação das raízes quadradas de números complexos.
Exemplo 1: Encontre a raiz quadrada de 6 - 8i.
Solução:
Vamos usar a seguinte fórmula para determinar a raiz quadrada de um determinado número complexo como:
Para o caso dado, substitua a = 6 e b = (-8) na fórmula acima,
qual é a solução necessária.
Exemplo 2: Encontre a raiz quadrada de 9 + 40i.
Solução:
Vamos usar a seguinte fórmula para determinar a raiz quadrada de um determinado número complexo como:
Para o caso dado, substitua a = 9 e b = 40 na fórmula acima,
qual é a solução necessária.
Exemplo 3: Encontre a raiz quadrada de 3 + 4i.
Solução:
Vamos usar a seguinte fórmula para determinar a raiz quadrada de um determinado número complexo como:
Para o caso dado, substitua a = 3 e b = 4 na fórmula acima,
qual é a solução necessária.