Teste seus conhecimentos com questões sobre os aspectos gerais da Geometria Analítica envolvendo distância entre dois pontos, ponto médio, equação da reta, entre outros temas.
Aproveite os comentários nas resoluções para tirar suas dúvidas e adquirir mais conhecimento.
Questão 1
Calcule a distância entre dois pontos: A (-2,3) e B (1,-3).
Resposta correta: d(A, B) =
Para resolver essa questão, utilize a fórmula para calcular a distância entre dois pontos.
Substituímos os valores na fórmula e calculamos a distância.
A raiz de 45 não é exata, por isso é necessário realizar a radiciação até que não se possa mais retirar nenhum número da raiz.
Portanto, a distância entre os pontos A e B é .
No plano cartesiano existem os pontos D (3,2) e C (6,4). Calcule a distância entre D e C.
Resposta correta: .
Sendo e , podemos aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo DCP.
Substituindo as coordenadas na fórmula, encontramos a distância entre os pontos da seguinte forma:
Portanto, a distância entre D e C é de
Veja também: Distância entre Dois Pontos
Questão 3
Determine o perímetro do triângulo ABC, cujas coordenadas são: A (3,3), B (–5, –6) e C (4,–2).
Resposta correta: P = 26,99.
1º passo: Calcular a distância entre os pontos A e B.
2º passo: Calcular a distância entre os pontos A e C.
3º passo: Calcular a distância entre os pontos B e C.
4º passo: Calcular o perímetro do triângulo.
Portanto, o perímetro do triângulo ABC é 26,99.
Veja também: Perímetro do Triângulo
Questão 4
Determine as coordenadas que localizam o ponto médio entre A (4,3) e B (2,-1).
Resposta correta: M (3, 1).
Utilizando a fórmula para calcular o ponto médio, determinamos a coordenada x.
A coordenada y é calculada utilizando a mesma fórmula.
De acordo com os cálculos, o ponto médio é (3,1).
Calcule as coordenadas do vértice C de um triângulo, cujos pontos são: A (3, 1), B (–1, 2) e o baricentro G (6, –8).
Resposta correta: C (16, –27).
O baricentro G (xG, yG) é o ponto em que se encontram as três medianas de um triângulo. Suas coordenadas são dadas pelas fórmulas:
e
Substituindo os valores de x das coordenadas, temos:
Agora, fazemos o mesmo processo para os valores de y.
Portanto, o vértice C possui as coordenadas (16,-27).
Questão 6
Dada as coordenadas dos pontos colineares A (–2, y), B (4, 8) e C (1, 7), determine qual o valor de y.
Resposta correta: y = 6.
Para que os três pontos estejam alinhados, é necessário que o determinante da matriz abaixo seja igual a zero.
1º passo: substituir os valores de x e y na matriz.
2º passo: escrever os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.
3º passo: multiplicar os elementos das diagonais principais e somá-los.
O resultado será:
4º passo: multiplicar os elementos das diagonais secundárias e inverter o sinal à frente deles.
O resultado será:
5º passo: juntar os termos e resolver as operações de adição e subtração.
Portanto, para que os pontos sejam colineares, é necessário que o valor de y seja 6.
Veja também: Matrizes e Determinantes
Questão 7
Determine a área do triângulo ABC, cujos vértices são: A (2, 2), B (1, 3) e C (4, 6).
Resposta correta: Área = 3.
A área de um triângulo pode ser calculada a partir do determinante da seguinte forma:
1º passo: substituir os valores das coordenadas na matriz.
2º passo: escrever os elementos das duas primeiras colunas ao lado da matriz.
3º passo: multiplicar os elementos das diagonais principais e somá-los.
O resultado será:
4º passo: multiplicar os elementos das diagonais secundárias e inverter o sinal à frente deles.
O resultado será:
5º passo: juntar os termos e resolver as operações de adição e subtração.
6º passo: calcular a área do triângulo.
Veja também: Área do Triângulo
Questão 8
(PUC-RJ) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é:
a) (3, 1) b) (3, 6) c) (3, 3) d) (3, 2)
e) (3, 0)
Alternativa correta: c) (3, 3).
Se os pontos A e C são equidistantes do ponto B, quer dizer que os pontos estão situados à mesma distância. Logo, dAB = dCB e a fórmula para calcular é:
1º passo: substituir os valores das coordenadas.
2º passo: resolver as raízes e encontrar o valor de b.
Logo, o ponto B é (3, 3).
Veja também: Exercícios sobre distância entre dois pontos
Questão 9
(Unesp) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de vértices P = (0, 0), Q = (6, 0) e R = (3, 5), é a) equilátero. b) isósceles, mas não equilátero. c) escaleno. d) retângulo.
e) obtusângulo.
Alternativa correta: b) isósceles, mas não equilátero.
1º passo: calcular a distância entre os pontos P e Q.
2º passo: calcular a distância entre os pontos P e R.
3º passo: calcular a distância entre os pontos Q e R.
4º passo: julgar as alternativas.
a) ERRADA. O triângulo equilátero possui as medidas dos três lados iguais.
b) CORRETA. O triângulo é isósceles, pois dois lados têm a mesma medida.
c) ERRADA. O triângulo escaleno possui as medidas dos três lados diferentes.
d) ERRADA. O triângulo retângulo possui um ângulo reto, ou seja, de 90º.
e) ERRADA. O triângulo obtusângulo possui um dos ângulos maior que 90º.
Veja também:
Geometria analítica
Classificação dos Triângulos
Questão 10
(Unitau) A equação da reta que passa pelos pontos (3,3) e (6,6) é:
a) y = x. b) y = 3x. c) y = 6x. d) 2y = x.
e) 6y = x.
Alternativa correta: a) y = x.
Para facilitar o entendimento, chamaremos o ponto (3,3) de A e o ponto (6,6) de B.
Tomando P (xP, yP) como um ponto que pertence a reta AB, então A, B e P são colineares e a equação da reta é determinada por:
A equação geral da reta que passa por A e B é ax + by + c = 0.
Substituindo os valores na matriz e calculando o determinante, temos:
Logo, x = y é a equação da reta que passa pelos pontos (3,3) e (6,6).
Veja também: Equação da Reta