A qual classe pertence uma raiz quadrada

Os Números Irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos e não podem ser representados por meio de frações irredutíveis.

Interessante notar que a descoberta dos números irracionais foi considerada um marco nos estudos da geometria. Isso porque preencheu lacunas, como por exemplo, a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1.

Como a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos, podemos calcular essa medida usando o Teorema de Pitágoras.

Com vimos, a medida da diagonal desse quadrado será √2. O problema é que o resultado desta raiz é um número decimal infinito e não periódico.

Por mais que tentemos encontrar um valor exato, só conseguimos aproximações deste valor. Considerando 12 casas decimais essa raiz pode ser escrita como:

√2 = 1,414213562373....

Alguns exemplos de irracionais:

• √3 = 1,732050807568....
• √5 = 2,236067977499...
• √7 = 2,645751311064...

Números Irracionais e Dízimas Periódicas

Diferente dos números irracionais, as dízimas periódicas são números racionais. Apesar de apresentarem uma representação decimal infinita, podem ser representados por meio de frações.

A parte decimal que compõe uma dízima periódica apresenta um período, ou seja, possui sempre a mesma sequência de repetição.

Por exemplo, o número 0,3333... pode ser escrito na forma de fração irredutível, pois:

Portanto, as dízimas periódicas não são números irracionais.

Classificação dos Números Irracionais

Os números irracionais podem ser algébricos ou transcendentes. Será algébrico quando satisfaz uma equação algébrica de coeficientes inteiros, se não for algébrico, então será transcendente.

Por exemplo, a raiz quadrada de 2 (√2) pode ser escrita como sendo x2 - 2 = 0, então é irracional algébrico.

O número pi (π) é o mais famoso dos números irracionais transcendentes. Seu valor é π = 3,14159265358979323846… e representa a proporção da medida da circunferência e do seu diâmetro.

Um outro exemplo de irracional transcendente é o número de Neper, representado por e, sendo aproximadamente igual a 2,718281.

Podemos ainda citar o número de ouro, representado por Phi (ϕ). Seu valor é ϕ = 1,618033...

O número de ouro é encontrado a partir da razão áurea ou divina proporção, sendo encontrada em muitos elementos da natureza. Além disso, esta razão está presente em diversas pinturas, esculturas e construções.

Veja na animação abaixo e entenda como o número de ouro está presente em nosso cotidiano.

Conjuntos Numéricos

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Da união deste conjunto com o conjunto dos números racionais (Q) temos o conjunto dos números reais (R).

O conjunto dos números irracionais possui infinitos elementos, sendo que existem mais irracionais do que racionais.

Saiba mais sobre os Conjuntos Numéricos.

Exercícios Resolvidos

1) UEL - 2003

Observe os seguintes números.

I. 2,212121... II. 3,212223... III.π/5 IV. 3,1416

V. √- 4

Assinale a alternativa que identifica os números irracionais.

a) I e II b) I e IV c) II e III d) II e V

e) III e V

2) Fuvest - 2014

O número real x, que satisfaz 3

I. x é irracional. II. x ≥ 10/3

III. x . 102 000 000 é um inteiro par.

Então:

a) nenhuma das três afirmações é verdadeira. b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras. c) apenas a afirmação I é verdadeira. d) apenas a afirmação II é verdadeira.

e) apenas a afirmação III é verdadeira.

3) UFSM - 2003

Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir.

( ) A letra grega π representa o número racional que vale 3,14159265. ( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum.

( ) Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional.

A sequência correta é

a) F - V - V b) V - V - F c) V - F - V d) F - F - V

e) F - V - F

Para saber mais, veja também:

Os números irracionais causaram grande inquietação nos matemáticos durante um longo período. Hoje já bem definido, conhecemos como um número irracional aquele cuja representação decimal é sempre uma dízima não periódica. A principal característica dos irracionais, e que os difere dos números racionais, é que eles não podem ser representados por meio de uma fração.

O estudo dos números irracionais foi aprofundado quando, ao calcular-se problemas envolvendo o teorema de Pitágoras, encontrava-se raízes não exatas. O ato de procurar solução para essas raízes não exatas tornou notável a existência das dízimas não periódicas, ou seja, de números cuja parte decimal é infinita e não possui uma sequência bem definida. Os principais números irracionais são as dízimas não periódicas, as raízes não exatas e o π.

Leia também: Raiz quadrada – caso de radiciação em que o índice do radical é 2

Conjunto dos números irracionais

Antes do estudo dos números irracionais, eram estudados os conjuntos dos números naturais, inteiros e racionais. Ao se aprofundar no estudo no triângulo de retângulo, tornou-se notório que existem algumas raízes que não têm solução exata, em particular, foi possível perceber que soluções de raízes não exatas são números conhecidos como dízimas não periódicas.

Em meio a essa inquietação, muitos matemáticos tentaram demonstrar, sem sucesso, que as raízes não exatas são números racionais e que podem ser representados como uma fração, porém o que se percebeu foi que esses números não poderiam ser representados dessa forma. Como, até o momento, o conjunto dos números racionais não contemplava esses números, surgiu a necessidade da criação de um novo conjunto, conhecido como conjunto dos números irracionais.

O que são os números irracionais?

Para ser um número irracional, ele tem que satisfazer a definição, ou seja, a sua representação decimal é uma dízima não periódica. A principal característica das dízimas não periódicas é a de não podem ser representadas por meio de uma fração, o que mostra que os números irracionais são o contrário dos racionais.

Os principais números com essa característica são as raízes não exatas.

Exemplos:

a) √2

b) √5

c) √7

d) √13 

Ao procurar soluções de raízes não exatas, ou seja, realizar a representação decimal desses números, sempre encontraremos uma dízima não periódica, o que faz com que esses números sejam elementos do conjunto dos irracionais.

Além das raízes não exatas, existem as dízimas não periódicas em si, por exemplo, se calcularmos as raízes não exatas, encontraremos uma dízima não periódica.

√2 = 1,41421356...

√5= 2,23606797...

Números irracionais são comumente representados por letras gregas, porque não é possível escrever todas as suas casas decimais.

O primeiro deles é o π (lê-se: pi), presente no calculo de área e perímetro de circunferências. Possui valor igual a 3,1415926535…

Além do π, outro número bastante comum é o ϕ (lê-se: fi). Ele é encontrado em problemas envolvendo a proporção áurea. Possui valor igual a 1,618033…

Veja também: Quais são os números primos?

Ao analisar os conjuntos numéricos, é importante diferenciar os números racionais e os números irracionais. A união desses dois conjuntos forma um dos conjuntos mais estudados na matemática, o conjunto dos reais, ou seja, o conjunto dos números reais é a junção dos números que podem ser representados como frações (racionais) com os números que não podem ser representados como frações (irracionais).

No conjunto dos números racionais, estão os inteiros, os naturais, os decimais exatos, e as dízimas periódicas.

Exemplos de números racionais:

-60 → número inteiro

2,5 → decimal exato

5,1111111… → dízima periódica

Já os números irracionais são as dízimas não periódicas, logo, não existe nenhum número que seja racional e irracional ao mesmo tempo.

Exemplo de números irracionais:

1,123149… → dízima não periódica

2,769235… → dízima não periódica

Operações com números irracionais

A adição e a subtração de dois números irracionais geralmente é apenas representada, a menos que seja utilizada uma aproximação decimal desses números, por exemplo:

a) √6 + √5

b) √6 – √5

c) 1,414213… + 3,1415926535…

Não podemos somar ou subtrair os valores por causa dos radicais, então deixamos a operação apenas indicada.

Nas representações decimais, também não é possível realizar a soma exata, logo, para somar dois números irracionais, precisamos de uma aproximação racional, e essa representação é escolhida de acordo com a necessidade de precisão desses dados. Quanto mais casas decimais considerarmos, mais próximos do valor exato da soma ficaremos.

Observação: o conjunto dos números irracionais não é fechado para adição ou subtração, isso significa que a soma de dois números irracionais pode resultar em um número que não seja racional. Por exemplo, se calcularmos a diferença de um número irracional pelo seu oposto, temos que:

a) √2 – √2 = 0

b) π + (-π) = 0

Sabemos que 0 não é um número irracional.

A multiplicação e divisão de números irracionais pode ser feita caso a representação seja uma radiciação, porém, assim como a adição, na representação decimal, ou seja, multiplicar ou dividir duas dízimas, exige-se uma aproximação racional desse número.

a) √7 · √5 = √35

b) √32 : √2 = √16 = 4

Note também que, no exemplo b, 4 é um número racional, o que significa que a multiplicação e a divisão de dois números irracionais não são fechadas, ou seja, podem ter resultado racional.

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Analise os números a seguir:

I) 3,1415926535

II) 4,1234510….

III) 2π

IV) 1,123123123…

V) √36

VI) √12

São números irracionais:

A) Somente I, IV e V

B) Somente II, III e VI

C) Somente II, IV e VI

D) Somente I, II, III e VI

E) Somente III, IV, V e VI

Resolução

Alternativa B

I → o número é decimal exato, racional.

II → o número é uma dízima não periódica, irracional.

III → π é irracional, e o seu dobro, ou seja, 2π, também é irracional.

IV → o número é uma dízima periódica, racional.

V → raiz exata, racional.

VI → raiz não exata, irracional.

Questão 2 – Julgue as afirmativas a seguir:

I – O conjunto dos números reais é a união dos racionais e irracionais;

II – A soma de dois números irracionais pode ser um número racional;

III – As dízimas são números irracionais.

Analisando as afirmativas, podemos afirmar que:

A) Somente a afirmativa I é verdadeira.

B) Somente a afirmativa II é verdadeira.

C) Somente a afirmativa III é verdadeira.

D) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

E) Todas as afirmativas são verdadeiras.

Resolução

Alternativa D

I → Verdadeira, pois a definição do conjunto dos números reais é a união entre os racionais e irracionais.

II → Verdadeira, ao realizarmos a soma de um número pelo oposto dele, teremos como resultado o número 0, que é racional.

III → Falsa, as dízimas não periódicas são irracionais.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática