Distribuição de Frequências ESTATISTICA Aula 4 PROF: CÉLIO SOUZA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIAS Objetivo da aula: como realizar a distribuição de freqüências. Quais os tipos de distribuição de freqüências. Construir tabelas e gráficos. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS É um tipo de apresentação que condensa uma coleção de dados conforme as frequências ou repetições de seus valores. A construção da distribuição de frequência depende do tipo de dados com os quais se está lidando: contínuos ou discretos. Uma distribuição de frequência pode ser apresentada sob a forma gráfica ou tabelar. ORGANIZAÇÃO DOS DADOS - TABULAÇÃO DE DADOS Dados brutos: forma como os dados são encontrados inicialmente na pesquisa. Rol – é a organização dos dados de forma ordenada, normalmente na ordem crescente de grandeza. Distribuição de Frequências – com que freqüência aparece determinado valor de uma variável. Essa pode ser absoluta, relativa, porcentual e acumulativa. Frequências Absoluta: contagem dos dados sem manipulação, valor numérico. Frequências Relativa: Resultados dos dados são mostrados por valores de quocientes (razão) ex. taxa, índices, percentagem. ELEMENTOS DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS Frequência absoluta simples (fi): é o número de informações verificadas em cada classe. Frequência total: é a soma de todas as informações observadas. Frequência relativa simples (fri): é o quociente entre a freqüência da classe e a freqüência total. Frequência acumulada (Fri): é obtida através da soma da freqüência daquela classe mais as freqüências de todas as classes anteriores. EX. Anos de experiência de professores de educação física. Dados brutos: 10 – 8 – 9 – 6 – 5 – 3 – 2 – 7 – 1 – 5 – 4 – 7- 5. Rol = 1, 2, 3, 4, 5, 5,5, 6, 7, 7, 8, 9,10 Distribuição de Frequência Anos (x) n. professores(fi) 1 1 2 1 3 1 4 1 5 3 6 1 7 2 8 1 9 1 10 1 Exemplo de Distribuição de Freqüência para Variáveis Discretas Número de faltas por disciplina. Supor uma amostra constituída dos 25 disciplinas do curso de graduação: Handebol = 4; Atletismo= 2; Biomecânica = 3; Capoeira = nenhum; Anatomia = 5; Folclore = 1; Dança = 3; Ética = nenhum; Metodologia de Pesquisa = 6; Metodologia da Ed. Física= 4; Desenvolvimento motor= 4; Didática = nenhum; Avaliação do Ensino = 1; Leitura e Produção = 1; Saúde Coletiva = 3; Teoria do Esporte = 7; Natação = 5; Ginástica I = 1; Ginástica II = 3; Cineantropometria = 2; Gestão de Eventos = 10; Basquetebol = 2; Anatomia = 3; Organização Curricular = 4 Da maneira como apresentada acima são dados primários ou dados brutos Da maneira como apresentada acima são dados primários ou dados brutos. O rol fica: 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 7 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ABSOLUTA (Fi) Relacionam categorias ou classes de valores, juntamente com contagens (ou freqüência) do número de valores que se enquadram em cada categoria. Faltas fi 04 1 2 03 3 06 4 5 02 6 01 7 ∑ fi 25 Atenção o Exemplo é para Variáveis Discretas. Distribuições de freqüência Etapas para a construção de tabelas de frequências para dados agrupados (classes) : 1) Encontrar o menor e o maior valores (denominados mínimo e máximo) do conjunto de dados. 2) A seguir, encontra-se a amplitude total da distribuição (AT ), que a diferença entre limite superior ( L min ) da amostra (pode-se aumentar uma casa decimal ) pelo limite inferior( l min ). Este resultado será dividido pelo número de classes que se quiser ( valores entre 4 a 7) 3) Para montar basta contar o número de elementos que pertencem a cada classe (frequência). ELEMENTOS DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS Classes: cada uma das linhas contendo um intervalo de valores. As classes são limitadas por dois valores: limite inferior de classe (li) e limite superior de classe (Li). Maneiras de expressar os limites de classes: 10 -- 12: compreende todos os valores entre 10 e 12, excluindo o 12. 10 -- 12: limites aparentes; os limites reais nesta situação são 9,5 e 12,5. Amplitude de classe: é a diferença entre dois limites inferiores de classe consecutivos (hi = Li - li ). Ponto médio da classe: é a média aritmética simples entre o limite superior e o inferior de uma mesma classe (Xi = li + Li/2). Exemplo de Distribuição de Frequência para Variáveis Continuas DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ABSOLUTA (Fi) Atenção o Exemplo é para Variáveis Continuas. O simbolo I-- em (150 I–– 156 )significa que o primeiro (l1) pertence a classe, mas o segundo L 2 não está nesta classe e sim na segunda classe . OUTRAS ANALISES Estatura (cm) fi fri Fri 150 I–– 156 2 0,06 0,11 162 I–– 168 8 0,22 0,33 168 I–– 174 9 0,25 0,58 174 I–– 180 7 0,19 0,78 180 I–– 186 6 0,17 0,94 186 I–– 192 1,00 ∑ 36 3,81 Fazer sempre o arrendamento dos dados. A soma sempre será 1,0 Distribuições de Freqüências Na construção de tabelas de freqüência, devemos observar as seguintes diretrizes: As classes devem ser mutuamente excludentes. Todas as classes devem ser incluídas, mesmo as de freqüência zero. Procurar utilizar a mesma amplitude para todas as classes. Escolher números convenientes para limites de classe. A soma das frequências das diversas classes deve ser igual ao número de observações originais. Faixa etária de crianças de um acampamento X Dados Brutos Faixa etária de crianças de um acampamento X 6 10 9 14 7 4 8 11 12 5 13 15 Dificulta estabelecer em torno de qual valor tendem a se concentrar as idades das crianças, ou ainda que se encontram acima ou abaixo de determinada idade. Tabela de dados Idade fi xi fr (%) Fi Fri 4I-6 7 5 18,9 6l-8 8 21,6 15 6l-8 8 21,6 15 8l-10 9 23 10l-12 11 30 12l-14 6 12 16,2 36 14l-16 1 2,8 37 Total Exercícios Tabular os seguintes dados, calcular as respectivas frequências, elaborar classes, calcular os pontos médios. Elaborar um gráfico com as classes criadas com suas respectivas frequência relativa. Idade dos acadêmicos que participaram IAPEF 28 20 45 27 66 55 48 40 32 54 61 49 53 57 30 46 50 41 47 63 34 59 36 21 65 25 35 39 23 29 44 56 62 24 31 26 43 60 33 37 42 38 
(inferior e superior) e pelo seu intervalo. Limite inferior da Classe: li Limite superior da Classe: Li Limites não Definidos São aqueles levantamentos nos quais geralmente não são definidos os intervalos de classe (primeiro intervalo e último intervalo) da distribuição. Exemplo: Distribuição de domicílios da grande São Paulo, segundo a classe de renda (1974) Renda Domiciliar ($1,00) Número de Domicílios Até 800 622.720 801 a 1.600 733.920 1.601 a 2.300 356.265 2.301 a 3.500 256.455 3.501 a 5.900 109.115 Mais que 5.901 83.400 Total 2.171.875 As classes, primeira e última, são de limites não definidos. Limites Reais ou Verdadeiros da Classe São obtidos através da média aritmética simples entre o limite superior de uma classe e o limite inferior da classe seguinte Exemplo: No exemplo anterior: Limite Superior Real da 1ª classe: Limite Superior Real da 2ª classe: Amplitudes das Classes (h) O intervalo de uma classe corresponde ao comprimento desta classe. Numericamente pode ser definido como: A diferença existente entre o limite inferior de uma classe, e o limite inferior da classe seguinte; ou A diferença existente entre o limite superior de uma classe, e o limite superior da classe anterior; ou A diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe. OBS: a) Amplitude Total ou Oscilação ou Range de uma Distribuição – (AT ou R) É a diferença entre os valores extremos do Rol. AT = R = Xmáx. – Xmín. b) Pontos Médios ou Centrais das Classes – (Ci ou PMi) Numericamente pode ser definido como: A média aritmética simples, entre o limite superior e o limite inferior de uma mesma classe: Ci = PMi = , ou A soma do limite inferior de uma classe, com a metade da amplitude dessa classe: Ci = PMi = li + , ou A diferença entre o limite superior da classe e a metade da amplitude dessa classe: Ci = PMi = Li - . Exemplo: Considerando o exemplo da distribuição das estaturas dos 76 alunos, calcular para as classes: Amplitude Ponto Médio Freqüência Absoluta Freqüência Relativa Solução: Classes Amplitudes H Ponto Médio Freqüências Absoluta fi Relativa fRi 1,50 1,56 0,06 1,53 1,53 5 0,07 1,56 1,62 0,06 1,59 1,59 4 0,05 1,62 1,68 0,06 1,65 1,65 19 0,25 1,68 1,74 0,06 1,71 1,71 18 0,24 1,74 1,80 0,06 1,77 1,77 14 0,18 1,80 1,86 0,06 1,83 1,83 12 0,16 1,86 1,92 0,06 1,89 1,89 3 0,04 1,92 1,98 0,06 1,95 1,95 1 0,01 Regras Gerais para elaborar uma distribuição de freqüências 1ª) Monta-se o Rol dos dados existentes (dados brutos); 2ª) Calcula-se o range ou amplitude total da distribuição; 3ª) Calcula-se o número de classes da distribuição – k -, que será aproximadamente igual a: k = , onde: k = número de classes N = número total de observações Este número de classes deverá sempre estar entre 5 e 20. Outro caminho de cálculo do número de classes é através da Regra de Sturges: k = 1 + 3,3 log N Esta regra também é apresentada na forma gráfica. 4ª) Determinam-se os intervalos das classes que serão dados por: h = 5ª) Determina-se o número de observações que cai em cada classe, achando-se as freqüências de cada classe. Estes dados (freqüências absolutas) são colocados em tabelas de distribuição de freqüência, onde são também indicados os valores de freqüências relativas ou porcentagens. Exemplo: Considerando o exemplo das estaturas dos 76 alunos... O rol já foi montado no item 1.6.2 Amplitude total At = Xmáx. – Xmin. = 1,92 – 1,50 = 0,42 Número de classes K = 8,71 9 Amplitude da classe h = = = 0,0467 0,05 As observações de cada classe estão indicadas na tabela 3. Tabela 3 Classes Amplitudes H Centro da Classe Freqüências Porcentagem fr x 100% Absoluta - fa Relativa - fr 1,50 1,55 0,05 1,525 2 0,03 3 1,55 1,60 0,05 1,575 5 0,07 7 1,60 1,65 0,05 1,625 10 0,13 13 1,65 1,70 0,05 1,675 19 0,25 25 1,70 1,75 0,05 1,725 14 0,18 18 1,75 1,80 0,05 1,775 10 0,13 13 1,80 1,85 0,05 1,825 11 0,14 14 1,85 1,90 0,05 1,875 3 0,04 4 1,90 1,95 0,05 1,925 2 0,03 3 Total - - 76 1,00 100 Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüências A distribuição de freqüências pode ser representada graficamente de duas maneiras: A) Histograma ou Histograma de Freqüências (Absoluta, Relativa ou Porcentagem) Consiste em um grupo de retângulos que têm: - as bases sobre um eixo horizontal, com centro no ponto médio e as larguras iguais às amplitudes dos intervalos das classes: - as alturas proporcionais às freqüências das classes (quando as classes têm intervalos de igual amplitude, as áreas dos retângulos serão, também, proporcionais às freqüências das classes) Exemplo: Considerando o exemplo das estaturas dos 76 alunos... fi 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 (m) fr % 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 (m) B) Polígono de Freqüências É um gráfico de linhas em que as freqüências são locadas considerando os pontos médios superiores das classes; ligando-se esses pontos entre si. fi 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 (m) 1.6.9 Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüências Acumuladas – Ogivas A freqüência total de todos os valores inferiores ou superiores ao limite inferior ou superior de um dado intervalo de classes é denominada Freqüência Acumulada até ou após, incluindo o intervalo. A tabela que apresenta essas freqüências acumuladas denomina-se Distribuição de Freqüências Acumuladas, ou Distribuição Acumulada. Este tipo de distribuição pode ser elaborada em termos de freqüência absoluta, de freqüência relativa ou de porcentagem. As freqüências acumuladas são indicadas por F (maiúsculo). A representação gráfica da distribuição de freqüências acumuladas é denominada Polígono de Freqüências Acumuladas ou Ogivas de Galton. Exemplo: Considerando os dados da tabela 3, estão apresentadas abaixo, as distribuições de freqüências acumuladas de freqüências absolutas, de freqüências relativas e de porcentagens, na tabela 4. Tabela 4 Classes fi Fi ACUMULADA fr Fr ACUMULADA % % ACUMULADA 1,50 1,55 2 2 0,03 0,03 3 3 1,55 1,60 5 7 0,07 0,10 7 10 1,60 1,65 10 17 0,13 0,23 13 23 1,65 1,70 19 36 0,25 0,48 25 48 1,70 1,75 14 50 0,18 0,66 18 66 1,75 1,80 10 60 0,13 0,79 13 79 1,80 1,85 11 71 0,14 0,93 14 93 1,85 1,90 3 74 0,04 0,97 4 97 1,90 1,95 2 76 0,03 1,00 3 100 Total 76 - 1,00 - 100 - A distribuição de freqüências acumulada gráfica, será: fi 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 (m) As ogivas poderão ser construídas considerando freqüências |
A diferença entre os limites reais superior e inferior de uma determinada classe é denominada
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